Demuestre que este es un número racional

Question

Estoy tratando de demostrar que un número x =$<0.d_{-1}...d_{-k}d_{-1}...d_{-k}d_{-1}...>$ es racional.

El ejercicio aconseja firstdo$10^k \times x - <\color{red}{0.}d_{-1}...d_{-k}>$ que, si estoy en lo correcto, es igual a$\color{red}{\text{an integer}}$ (por ejemplo,$10³ * 0.123123123 - \color{red}{0.}123 =\color{red}{123}$)

Pero no sé en absoluto cómo demostrar que este es un número racional a partir de ahí, ¿qué puedo hacer para probarlo?

Gracias

Answer 1

Hazlo asi

ps

Entonces

ps

De aquí

ps

Asi que,

ps

Answer 2

$$ x = 0. \ overline {d_1, d_2, ..., d_k} \\ 10 ^ kx = <d_1, d_2, ..., d_k>. \ overline {d_1, d_2, ..., d_k} \\ 10 ^ kx - x = <d_1, d_2, ..., d_k> \\ (10 ​​^ k-1) x = <d_1, d_2, ..., d_k> $$ Por lo tanto $$ x = \ frac {<d_1, d_2, ..., d_k>} {10 ^ k-1} $$ donde tanto el numerador como el denominador son enteros.

Answer 3

Darse cuenta de

ps

mientras que el inverso de

ps

(Porque $$x=d_0d_1\cdots d_{k-1}d_k\times 0.00\cdots01\ 00\cdots01\ 00\cdots01\cdots$)