Subgrupos normales y cosets

Question

Dejemos que $N$ sea un subgrupo de un grupo $G$ . Supongamos que, para cada $a$ en $G$ existe $a, b$ en $G$ tal que $Na=bN$ . Demostrar que $N$ es un subgrupo normal.

Ataque: Encontré $b^{-1}N$ = $Na^{-1}$ ¡pero estoy atascado!

Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Por hipótesis, todo coset izquierdo de $N$ en $G$ es un coset derecho de $N$ en $G$ . Así, para $a\in G$ , $aN$ siendo un conjunto de la izquierda, debe ser un conjunto de la derecha. ¿Qué coset derecho puede ser?

Desde $a=ae$ y obviamente $e\in N$ , tienes que $a=ae\in aN$ . Por lo tanto, cualquier coset correcto $aN$ resulta ser, debe contener el elemento $a$ . Sin embargo, $a$ está en el coset derecho $Na$ y dos cosets derechos distintos no tienen elementos en común (recordemos que estar en un coset es una relación de equivalencia, que induce una partición de $G$ ). Así que este coset derecho es único: $aN=Na$ .

Por lo tanto, para cada $g\in G$ , usted tiene $$gNg^{-1}=Ngg^{-1}=N$$ que es la normalidad de $N$ en $G$

Answer 2

Una forma de definir un subgrupo Normal es que todo coset derecho es un coset izquierdo - y eso es lo que se da.

Aquí sabes que $a^{-1}Na=a^{-1}bN$

El lado izquierdo contiene 1. El lado derecho es un coset de $N$ que contiene 1, por lo que debe ser $N$ .