¿Es la inversa de una función biyectiva continua también continua?

Question

¿Es la inversa de una función biyectiva continua también continua? ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Tome la función $f(x)=x^2$ para $x\in(-1,0]\cup[1,2]$ . Entonces $f:(-1,0]\cup[1,2]\to[0,4]$ es continua y biyectiva, pero la inversa no es continua. Podemos ver que la inversa no es continua ya que $[0,4]$ está conectado pero $(-1,0]\cup[1,2]$ no está conectado.

Answer 2

Tome cualquier conjunto $S$ . Sea $X$ sea $S$ con la topología discreta y $Y$ sea $S$ con la topología gruesa. Obsérvese que la identidad $i:X\to Y$ es continua, pero su inversa, la identidad $i:Y\to X$ no lo es.

Answer 3

Definir $f: [0,1) \cup [2,3] \rightarrow [0,2]$ por

$$f(x)=\begin{cases} x & x \in [0,1) \\ x-1 & x \in [2,3] \end{cases}$$

Este es un contraejemplo de TonyK.