Muestran que

Question

He confundido yo levemente tratando de representar los cuaterniones $x = a_1 \mathbf{1} + a_2 \mathbf{i} +a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}$. Esto puede ser representado como $2 \times2$ matriz con entradas complejas:

$$ \left[ \begin{array}{cr} a_1 + a_2 i & -a_3 + a_4 i \\ a_3 + a_4 i & a_1 - a_2 i \end{array} \right] \stackrel{\det} {\,} a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 $$

but then I said this is too complicated and tried to represent this as a $4 \times del 4$ matrix over integers:

$$ \left[ \begin{array}{rrrr} a_1 & -a_2 & -a_3 & -a_4 \\ a_2 & a_1 & a_4 & -a_3 \\ a_3 & -a_4 & a_1 & a_2 \\ a_4 & a_3 & -a_2 & a_1 \end{array} \right] \stackrel{\det} {\,} a_1^4 + a_2^4 + a_3^4 + a_4^4 + (\dots) $$

This determinant is a quartic. And let's check to make sure:

>>> from sympy import *
>>> a = symbols('a')
>>> b = symbols('b')
>>> c = symbols('c')
>>> d = symbols('d')
>>> x = Matrix([ [a,-b,-c,-d],[b,a,d,-c],[c,-d,a,b],[d,c,-b,a] ])
>>> x
Matrix([
[a, -b, -c, -d],
[b,  a,  d, -c],
[c, -d,  a,  b],
[d,  c, -b,  a]])
>>> x.det()
a**4 + 2*a**2*b**2 + 2*a**2*c**2 + 2*a**2*d**2 + b**4 + 2*b**2*c**2 + 2*b**2*d**2 + c**4 + 2*c**2*d**2 + d**4

The computer has done the combinatorics and the bookkeeping for us. How did the determinant become a square? The first one is $V_1 \en M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ and the second one is $V_2 \en M_{4\times 4}(\mathbb{R})$. How can it be that $(\det V_1)^2 = \det V_2$?

It looks like we have $V_2 = V_1 \otimes V_1$. Podrían ser los regulares de la representación o la fundamental reresentation? Puedo mezclar estas terminologías, como demasiado genérico.

Answer 1

No, $V_2$ es claramente el producto de Kronecker de $V_1$ con sí mismo, como podemos comprobar fácilmente con la mano - en particular, el $4\times4$ matriz $V_1\otimes V_1$ tiene entradas que son cuadrática en las incógnitas, a diferencia de $V_2$, e $V_1\otimes V_1$ $4\times4$ complejo de la matriz en lugar de una verdadera matriz como $V_2$.

Por otra parte, producto de Kronecker ¿ no satisfacen la identidad

$$ \det(A\otimes B)=\det(A)\times\det(B). $$

Más bien, el bloque de la diagonal de la matriz $A\oplus B$ hace:

$$ \det(A\oplus B)=\det(A)\det(B). $$

Si $A$$m\times m$$B$$n\times n$, entonces el producto de Kronecker satisface

$$ \det(A\otimes B)=\det(A)^n\det(B)^m. $$

(Recordar si $A,B$ son lineales mapas en $V,W$, respectivamente, hay una bien definida lineal mapa de $A\otimes B$ definido en el producto tensor $V\otimes W$ por la fórmula $(A\otimes B)(v\otimes w)=Av\otimes Bw$, y si uno toma las bases para $V,W$ se induce una base para $V\otimes W$ y el de la matriz para el producto tensor $A\otimes B$ es el producto de Kronecker de las matrices para $A$ y $B$.)

Cuaterniones puede ser representado por $2\times 2$ matrices complejas debido a $\mathbb{H}$ es una de dos dimensiones (a la derecha) complejo espacio vectorial y para cada uno de los cuaterniones $q$ correspondiente a la "izquierda-multiplicación-por-$q$" mapa que es $\mathbb{C}$-lineal.

En general, se puede considerar un espacio vectorial $V$ sobre un campo $L$, y una lineal mapa de $A$$V$. Si $L/K$ es una extensión de campo, a decir de grado $d$, también podemos considerar la posibilidad de $V$ como un espacio vectorial sobre $K$, y así podemos tomar el determinante de a $A$ con respecto al $L$ o $K$. Llamar a estos $\det_L(A)$$\det_K(A)$. Además, $L$ es en sí mismo un espacio vectorial sobre $K$, y así cada elemento de a $a$ $L$ tiene una "multiplicación por$a$" mapa que es un $K$-transformación lineal de $L$, cuyo factor determinante es la denominada norma $N_{L/K}(a)$.

Teorema. $~\det_K(A)=N_{L/K}(\det_L(A))$.

En el caso de que $a=\det_L(A)$ ya es un escalar en $K$,$N_{L/K}(a)=a^d$. Se da la circunstancia de que la multiplicación por una cuádrupla ofrece una $2\times2$ matriz compleja con el real determinante (esto se deduce del hecho de cuaterniones han polar de las formas y el "accidental isomorfismo" $\mathrm{Sp}(1)\cong\mathrm{SU}(2)$), por lo que obtener un factor determinante cuadrado en su caso ya que las $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$.

Más generalmente, considere la posibilidad de $A$ cualquier $nd\times nd$ bloque de la matriz con $n^2$-muchos de los $d\times d$ bloques, y donde cada una de las $n^2$ bloques de conmutar (es decir, $A_{ij}A_{k\ell}=A_{k\ell}A_{ij}$ para cualquier bloques de $A_{ij}$$A_{k\ell}$): entonces la fórmula para el factor determinante de una $n\times n$ matriz $[a_{ij}]$ (así, la fórmula de Leibniz) hace sentido con el bloque de matrices $A_{ij}$ en lugar de la matriz de entradas $a_{ij}$ - podemos llamar a esto el "bloque determinante." Así que el llamado bloque determinante ${\rm bldet}(A)$ es en sí mismo un $d\times d$ matriz. Entonces tenemos:

Teorema. $~\det({\rm bldet}(A))=\det(A)$

El primer teorema es un corolario a esta: elige una base para $L/K$, por lo que una matriz en la $M_n(L)$ se convierte en una matriz de $M_{nd}(K)$, y los bloques de conmutar, ya que representan la multiplicación por$a$ $K$- operador lineal en $L$ por diversos elementos $a\in L$, e $L$ es conmutativa (terreno).