Error cuando geodésicas en medio plano hiperbólico

Question

Se sabe que la geodésica ecuaciones para la mitad superior de avión equipado con la métrica hiperbólica son

$$x''=\frac{2x'y'}{y},$$ $$y''=\frac{(y')^2 -(x')^2}{y}.$$

También es bien conocido que la geodesics son semi-círculos acostado en el eje de las x. Sin embargo, me estoy encontrando con dificultades al tratar de verificar este hecho.

Estoy tratando de seguir la solución a la parte (b) del problema 5 en papel 1 aquí.

El camino de $\tilde \gamma(t)=(\cos(t),\sin(t))$, cuando se re-con parámetros, debe ser una geodésica. En el punto de $(\cos(t),\sin(t))$, la unidad de vector tangente es $$(-\sin^2(t), \sin(t)\cos(t)).$$ Así que necesitamos $$x''(t)=\frac{2(-\sin^2(t))(\sin(t)\cos(t)}{\sin(t)},$$ o $$x''(t)=-2\sin^2(t)\cos(t).$$ Sin embargo, $(-\sin^2(t))'=-2\cos(t)\sin(t)$, que no es exactamente lo que queremos. Estoy confundido ¿por qué esto no se alinean. Supongo que debido a que el campo de velocidad no surgen de una curva.

Cómo puede ser fijo?

Answer 1

Usted no debe asumir que el ingenuo parametrización $(\text{cos}(t), \text{sin}(t))$ va a resolver la ecuación. No, ya que claramente no satisface incluso la primera ecuación diferencial. Sin embargo, si usted asume una forma más general $x(t) = \text{cos}(f(t))$, $y(t)= \text{sin}(f(t))$, que todavía se traza un semicírculo (pero con una velocidad diferente), entonces debería ser posible encontrar una $f(t)$ es decir, un reparametrization que hace la línea geodésica ecuaciones satisfecho. Si el enchufe en la anterior ansatz, ambas ecuaciones dirá que usted necesita para solucionar $$f''(t) = \text{cot}(f(t)) (f'(t))^2,$$, que es resuelto por

$$f(t) = 2\text{cot}^{-1}(e^t)$$

Answer 2

Recordemos que $$ 0=E_1(E_j,E_k)= \frac{1}{y^2} \{ \Gamma_{1j}^k + \Gamma_{1k}^j \} \Rightarrow \Gamma_{1j}^k =-\Gamma_{1k}^j $$

$$ -2y^{-3}= E_2(E_2,E_2)= \frac{1}{y^2} (2\Gamma_{22}^2) \Rightarrow \Gamma_{22}^2= - \frac{1}{y} $$

Por definición,

$$ \Gamma_{12}^1 = -\frac{1}{y}$$

Si $$ v= (-\sin^2 t, \sin\ t\cos\ t) :=fE_1+ g E_2$$ then $$ v (F(t))= y \frac{d}{dt} F(t) $$ y $$ \nabla_vv = \nabla_v (fE_1) + \nabla_v (gE_2) $$ $$= v(f) E_1+ v(g)E_2 + f\nabla_vE_1 + g\nabla_vE_2 $$ $$ = y(f',g') + f ( f \Gamma_{11}^i E_i + g \Gamma_{21}^i E_i) + g( f \Gamma_{12}^i E_i + g \Gamma_{22}^i E_i ) $$

$$ = y(f',g') + f^2 \Gamma_{11}^2E_2 +2f g \Gamma_{12}^1 E_1 + g^2 \Gamma_{22}^2 E_2 =0 $$