Máxima exclusividad y Rolle ' teorema s

Question

Considerar la función $y(x)=f(x)(1-x)$ donde $x\in[0,1]$, $y(0)=y(1)=0$.

¿Saber que $f(x)$ es continuo por todas partes diferenciable, $f(0)=0$, $f(1)=c$ donde $0<c>0$, puede una afirmación de que el máximo $x^* \in (0,1) $ es único?</c>

Gracias de antemano

Answer 1

En primer lugar, considerar $g(x)=\dfrac{f(x)}{f'(x)}+x$. Tenemos $g'(x)=\dfrac{(f')^2(x)-f'(x)f''(x)+(f'')^2(x)}{(f'')^2(x)}=\dfrac{(f'(x)-f''(x))^2+f'(x)f''(x)}{(f'')^2(x)}>0$. Entonces g es una función creciente. Supongo que el $x$ y $z$ son puntos críticos para la función de $y$, por su relación, $\dfrac{f(x)}{f'(x)}+x=1=\dfrac{f(z)}{f'(z)}+z$, entonces el $g(x)=g(z)$, por lo tanto, $x=z$, como usted desea.

Me pregunto acerca de su manera de responder a su pregunta. ¿Cómo concluir que $f(x)/f'(x)$ va en aumento? Es mi función de g, pero está aumentando $g(x)-x$?

PD: la derivada de g no es mayor que cero. He hecho un error en la diferenciación. Jaja