Continuados mapas de topología; ¿la definición?

Question

Me pregunto, dada la definición de continuo los mapas de la siguiente manera,

Un functionn $f:X \to Y$ es continua si para cada subconjunto abierto $U $ $Y$ la preimagen $f^{-1}U$ está abierto en $X$.

Supongo que matemáticamente, esto no necesariamente significa que "un subconjunto de a $X$ se asigna a un subconjunto abierto en $Y$"?

Solo es que el subconjunto abierto de $Y$ deben provenir de un subconjunto abierto en $X$, pero no necesariamente que cada abrir $V$ $X$ será asignado a algunos abren $U$$Y$.

Es este entendimiento correcto?

Answer 1

Sí, eso es correcto.

Una función que se asigna a abrir los conjuntos abiertos de conjuntos se llama una tarjeta abierta, yo.e una función de $f : X \rightarrow Y$ es abierto si para cualquier conjunto abierto $U$$X$, la imagen de $f(U)$ está abierto en $Y$.

Abrir los mapas son no necesariamente continua.

Luego está el concepto de cerrado de los mapas de mapas de conjuntos cerrados para conjuntos cerrados. Un mapa puede ser abierto, cerrado, ambos, o ninguno de los dos y la continuidad es independiente de la apertura y la closedness.

Una función continua puede tener uno, ambos o ninguno de los bienes.

Answer 2

Continuadas mapas no debe mapa conjuntos abiertos para abrir sets. Un ejemplo es el mapa $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ de $f(x)=x^2$ que $(-1,1)$ $[0,1)$ que no está abierto y no cerrado.

Answer 3

Sí. ¿Consideremos, por ejemplo, la función continua $$f(x) = x^2$% $ #%(-1,1) de #%?

Answer 4

Sí. Tiendo a pensar que este (rápidamente) como "continuo = abrir conjuntos vienen de abrir sets" y más lentamente como "la preimagen de un conjunto abierto es un conjunto abierto".

Hay otro término: Un mapa es abierto si se necesita abrir los conjuntos de bloques abiertos. Un mapa puede ser abierto, continuo, ninguno de los dos, o ambos. Esta es la idea de que una persona en primer lugar el aprendizaje de esta definición de continua puede confundir con la continuidad.

Para ayudar a establecer esta idea. La condición sine mapa en $\Bbb{R}$ es claramente continua (uso de las ideas que tenía antes de la topología). Sin embargo, el intervalo de $(-100,100)$ (lo suficientemente grande como fácilmente a celebrar un periodo completo) se asigna por sinusoidal a $[-1,1]$, de manera continua los mapas no son automáticamente mapas abiertos.

Answer 5

Sí es correcto.

Si una función de mapas conjuntos abiertos para abrir sets, entonces se dice que un mapa abierto .

Un mapa continuo no es necesariamente abierto. Por ejemplo la función de $\sin$ es continua pero no abrir ya que se asigna el intervalo abierto $(0,\pi)$ $(0,1]$, que no está abierto.

Sin embargo, observe que si un mapa continuo $f$ tiene una inversa $f^{-1}$, entonces $f^{-1}$ es un mapa abierto.