Cómo encontrar valores propios de matriz $\begin{bmatrix} 3& a+1\\a+1&3 \end{bmatrix}$

Question

Quiero encontrar los valores propios de la siguiente matriz

$\begin{bmatrix} 3& a+1\a+1&3 \end{bmatrix}$ expresado en $a$ $\begin{bmatrix} \lambda - 3& a+1\a+1&\lambda-3 \end{bmatrix}$ de uso.

Pero el $a$ plazo hace difícil encontrarlo. Espero que alguien me puede mostrar cómo hacerlo. ¡Gracias de antemano!

EDITAR:

Determinante = $4a^2+8a+4$

Usando la regla abc consigo

$(6\overset{+}{-} \sqrt{4a^2+8a+4})/2$

Answer 1

Dado

$$ \begin{bmatrix} 3& a+1\\a+1&3 \end{bmatrix}. \tag 1 $$

Así que usted necesita para resolver

$$ \det \begin{bmatrix} 3 - \lambda& a+1\\a+1&3 - \lambda \end{bmatrix} = 0. \tag 2 $$

Entonces usted consigue

$$ \Big( 3 - \lambda \Big)^2 - \Big( un + 1 \Big)^2 = 0. \etiqueta 3 $$

Así

$$ 3 - \lambda = \pm ( a + 1 ). \etiqueta 4 $$

Así

$$ \lambda = 3 \mp ( 1 + a ). \etiqueta 5 $$

$$ \Downarrow $$

$$ \bbox[16px,border:2px solid #800000] { \lambda = 4 + a \v \lambda = 2 - a. } $$

Answer 2

Consejo. El polinomio característico es P(\lambda)=(\lambda-3)^2-(a+1)^2=(\lambda-a-4)(\lambda+a-2) $$ $$ entonces encontraste \lambda=a+4 \qquad \lambda=-a+2 $$ $$ como candidatos.

Answer 3

Usted puede hacer esto mediante el polinomio característico, como alguien que se mostrará seguramente, pero para ampliar un poco, se podría utilizar algunos trucos:

• La traza de la matriz es igual a la suma de los autovalores
• El determinante de la matriz es igual al producto de los autovalores

Esto significa que la suma es $\lambda_1 + \lambda_2 = 6$ y el producto es $\lambda_1 \lambda_2 = -a^2-2a+8$. Con esta información, usted puede obtener el resultado de la $\lambda_1 = 2-a$ $\lambda_2 = a+4$

Ademã ¡s, ya que las sumas de las columnas son iguales entre sí, el valor de la suma también tiene que ser un autovalor (probar esto!). Esto le da un autovalor con ningún trabajo: $3 + a + 1= a+4$

En este caso, el uso de las columnas truco y el seguimiento truco, usted puede conseguir el autovalor prácticamente sin tener que hacer nada.

Answer 4

\begin{align} \left| \begin{matrix} \lambda -3 & a+1 \ a+1 &\lambda-3 \end{matriz} \right| y = (\lambda-3)(\lambda-3) - (a+1)(a+1) \ & = \lambda^2-6\lambda+9-(a^2+2a+1) \ & = \lambda^2-6\lambda+9-a^2-2a-1 \ & = \lambda^2-6\lambda-a^2-2a+8 \ & = \lambda^2-6\lambda-(a^2+2a-8)\ & = \lambda^2-6\lambda-(a+4)(a-2) \ \ & = (\lambda - a-4) (\lambda + a-2) = 0\ \end{align} así $\lambda = a+4$ y $\lambda = -a+2$.

Answer 5

Como ambas filas tienen la misma suma,$\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}$ es un vector propio.

Como$$\begin{bmatrix} 3& a+1\\a+1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a+4 \\a+4 \end{bmatrix}=(a+4) \begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}$ $

se deduce que$a+4$ es uno de los valores propios.

El segundo se puede encontrar desde$6=tr(A)$ es la suma de valores propios, o al observar que$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ también es un vector propio, al observar que las diferencias en las filas son negativas entre sí.