Igualdad de dos matrices

Question

Si tenemos una matriz diagonal D que verifica

$D = A^*MA = B^*MB$

donde $^*$ denota la transposición conjugada,

siendo A, B y M matrices unitarias

Además, B es simétrica, M es real y ninguna de estas matrices es igual a I.

¿Tenemos $A = B$ ?

Answer 1

Esto no es cierto en general.

Permítanme hacer primero un paralelismo con el Teorema espectral. Este teorema dice que para una matriz hermitiana $P$ existe una matriz unitaria $U$ y una matriz diagonal $D$ tal que $P=UDU^*$ . Ahora, si cambiamos dos elementos diagonales en $D$ sólo tenemos que cambiar las columnas correspondientes de $U$ para conseguir un par $\tilde D,\tilde U$ de la matriz que también satisface $P=\tilde U\tilde D \tilde U^*$ . Tenga en cuenta también que si $v$ es un vector propio de $M$ entonces también es el caso de $-v$ . A partir de esta observación ya se puede adivinar que la igualdad $A=B$ no siempre es cierto. Para un ejemplo contrario, basta con elegir $D=\operatorname{diag}(a,a,b),a,b\in\Bbb R$ y cualquier matriz unitaria $A$ ahora se ha fijado $B$ para ser $A$ donde se cambian las dos primeras columnas o se multiplica una columna por $-1$ .

Sin embargo, como $A$ y $B$ son unitarios, tienen columnas linealmente independientes $A(1),\ldots,A(n)$ y $B(1),\ldots,B(n)$ Satisfaciendo a $MA(i)=d_{i,i}A(i)$ y $MB(i)=d_{i,i}B(i)$ por cada $i$ . De ello se deduce que las columnas de $A$ son vectores propios normalizados de $M$ y lo mismo ocurre con $B$ (nótese que una matriz de dimensión $n$ no puede tener más de $n$ vectores propios linealmente independientes).

De ello se desprende que $$A=B\Delta \Pi$$ donde $\Pi$ es una matriz de permutación (para sustituir las columnas en el orden correcto) y $\Delta$ es una matriz diagonal con sólo $1$ y $-1$ en su diagonal (porque si $v$ es un vector propio normalizado de $M$ , este es también el caso de $-v$ ).

Por último, hay que tener en cuenta que si todos los elementos diagonales de $D$ son distintos, entonces $A(i),B(i)$ son ambos eigenvectores normados que pertenecen a un valor propio de multiplicidad uno y, por lo tanto $A(i)= B(i)$ o $A(i) = -B(i)$ es decir $A=B\Delta$ donde $\Delta$ es una matriz diagonal con $1$ y $-1$ en su diagonal.

Answer 2

No lo creo si $D=M=cI$ para algunos $c$ tal que $|c|=1$ entonces $A$ y $B$ pueden ser matrices arbitrarias y esta propiedad se cumple.