$d(x_n,y_n)$ converge a un límite cuando $x_n, y_n$ son secuencias de Cauchy

Question

Que $(X,d)$ ser una secuencias de Cauchy métricas espacio y $x_n, yn$. ¿Hay una manera de probar que $\lim\limits{n \to \infty} d(x_n,y_n)$ existe sin que ello suponga la realización de $X$? Intuitivamente tiene el $x_n$s y $y_n$s, cada uno atrapado en una bola abierta, por lo que su distancia no se puede cambiar violentamente. Pero parece sorprendentemente difícil demostrar que existe realmente el límite dado.

Answer 1

$$d(x_n, y_n) \leq d(x_n, x_m) + d(x_m, y_n) \leq d(x_n, x_m) + d(x_m, y_m) + d(y_m, y_n)$$

por lo que

$$d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m) \leq d(x_n, x_m) + d(y_m, y_n)$$

Del mismo modo, tenemos

$$d(x_m, y_m) - d(x_n, y_n) \leq d(x_n, x_m) + d(y_m, y_n)$$

por lo que

$$|d(x_m, y_m) - d(x_n, y_n)| \leq d(x_n, x_m) + d(y_m, y_n)$$

así $a_n = d(x_n,y_n)$ es un Cauchy secuencia en $\mathbb{R}$, así que su límite existe