Fracaso de la definición grupal con axiomas más débiles

Question

En "Un Primer Curso de Álgebra Abstracta", Edición 7, pág.43, Fraleigh escribe que

Es posible dar axiomas para un grupo de $\left<G,*\right>$ que parecen a primera vista ser más débil, a saber:

1. La operación binaria $*$ $G$ es asociativa.
2. Existe un elemento de identidad de la izquierda $e$ $G$ tal que $e*x = x$ todos los $x \in G$.
3. Para cada una de las $a \in G$ existe una izquierda inverso $a'$ $G$ tal que $a' * a = e$

A partir de este uno de los lados de la definición, se puede demostrar que la izquierda elemento de identidad es también un elemento de identidad, y a la izquierda de la inversa es también un derecho inversa para el mismo elemento. Así, estos axiomas no debe ser más débil, ya que resulta en exactamente las mismas estructuras se denominan grupos. Es concebible que podría ser más fácil, en algunos casos, para la comprobación de estos a la izquierda axiomas que comprobar nuestros dos caras axiomas. Por supuesto, por la simetría es evidente que también hay derecho axiomas para un grupo.

Significa lo anterior algunos axiomas asumir que el derecho a la identidad elemento existe, en primer lugar?

Considere la posibilidad de $a * b = \left|a\right|b$. Hay al menos dos posibles soluciones para un elemento de identidad", a saber:

$$-1 * x = -1 \implies x = -1$$ $$1 * x = 1 \implies x = 1$$

Aunque el grupo con la operación $*$ satisface el axioma 2 de los más débiles de la definición, parece que $\left<G,*\right>$ no puede ser un grupo, porque con el original de los axiomas de un grupo, no hay ningún elemento de identidad $e$ tal que $e*a = a * e = a$ todos los $a \in G$.

Entonces, ¿cómo los anteriores axiomas "resultado en exactamente las mismas estructuras que están siendo llamados grupos"?

Answer 1

Este es un clásico ejercicio en grupo de teoría.

Claramente se puede demostrar que la izquierda identidad $e$ es también un derecho de la identidad y que todos los de izquierda inversa es también un derecho inversa.

Ahora considere la ecuación $$(x''*x')*x=x''*(x'*x)$$ por los axiomas tenemos que $$(x''*x')*x=e*x=x$$ en el otro lado $$x''*(x'*x)=x''*e\ .$$ Por lo $x=x''*e$ y multiplicando por $x'$ a la derecha tenemos $$x*x'=(x''*e)*x'=x''*(e*x')=x''*x'=e$$ por ello, toda la izquierda inversa es también un derecho inversa.

Para $x$ elemento genérico tenemos también que $$x*e=x*(x'*x)=(x*x')*x=e*x=x$$ lo que demuestra que $e$ es también un derecho de identidad.

Dado que tanto el derecho a la identidad y a la derecha inverso de axiomas a partir de los grupos de la siguiente manera a partir de estos más débil axiomas de ello se sigue que cada modelo de estos más débil axiomas es un grupo.

Edit: otra forma de demostrar que $e$ es también un derecho de identidad es la siguiente: a partir de $x=x''*e$, se pueden multiplicar a la derecha, por $e$ la obtención de $$x*e=(x''*e)*e=x''*(e*e)=x''*e=x\ .$$

Answer 2

Ambas posibilidades (que la identidad es $-1$ o $1$) no son coherentes con la definición de la multiplicación y de los requisitos del teorema.

La identidad es $1$. A continuación, el elemento $-1$ no tiene una izquierda inversa en esa situación.

Para que haya una izquierda inversa (cuando la identidad es $1$), no necesita ser $a' \in G$ s.t. $$a'*(-1) = 1$$ Esto significa que $$|a'|(-1) = 1$$ que no tiene soluciones.

La identidad es $-1$. A continuación, el elemento $1$ no tiene una izquierda inversa en esa situación.

Para que haya una izquierda inversa (cuando la identidad es $-1$), no necesita ser $a' \in G$ s.t. $$a'*1 = -1$$ Esto significa que $$|a'|1 = -1$$ que no tiene soluciones.