Haces de fibras con morfismos de categoría como fibras

Question

Dado un espacio total $E = M \times F$ de un haz de fibras donde $M$ es un colector liso y $F$ es la fibra. La fibra $F_x$ correspondiente al punto $x \in M$ es el conjunto de morfismos entre objetos $\Sigma_x := \{\sigma_x \}$ en el punto $x \in M$ (que varían de un punto colector base a otro). Cualquier sección del haz de fibras puede caracterizarse como $s(E) = (x,\sigma_x \mapsto \sigma'_x)$ con $\sigma_x,\sigma'_x \in \Sigma_x$ .

Debido a la falta de homogeneidad de las fibras (es decir, la cardinalidad y la estructura del conjunto $\Sigma_x$ y por lo tanto los morfismos entre este conjunto no son independientes de $x \in M$ ) no se puede definir una conexión adecuada; se supone que la fibra es indiferenciable. Sin embargo, puedo definir funciones de transferencia $\Lambda(x,y)$ con $\Lambda(x,y)(\sigma_y \mapsto \sigma'_y) = (\sigma_x \mapsto \sigma'_x)$ y $x,y, \in M$ que es capaz de comparar diferentes fibras con otras.

¿Existe una manera de manejar con paquetes de fibra como este? ¿Qué puedo hacer si no puede existir una conexión suave (por ejemplo, conexión afín Levi-Civita) en un haz de fibras?

Answer 1

Permítanme decir primero que es un poco extraño comenzar con el espacio total de un haz trivial $E = M \times F$ lo que implica que todas las fibras son equinuméricas, y luego escribir "Debido a la inhomogeneidad de las fibras (es decir, la cardinalidad y la estructura del conjunto $Σ_x$ y por lo tanto los morfismos entre este conjunto no son independientes de $x∈M$ ) [...]", lo que sugiere que las fibras no son necesariamente equitativas.

Teniendo en cuenta la generalidad de su pregunta, no podremos imitar lo que se hace por ejemplo en la geometría de Riemann para definir una curvatura tensor ya que dicho tensor actuaría también sobre los vectores tangentes a la fibra (cuyo significado no está claro en nuestro contexto). Sin embargo, podríamos obtener nociones aproximadas.

Dado un conjunto finito ordenado $\{x_1, \dots, x_n \} \subset M$ lo que podríamos llamar un camino discreto $\gamma$ en $M$ podemos definir un morfismo $\Lambda(\gamma) : F_{x_1} \to F_{x_n}$ como el morfismo compuesto $\Lambda(x_{n-1}, x_n) \circ \dots \circ \Lambda(x_1, x_2)$ . Podríamos llamar a $\Lambda(\gamma)$ el transporte paralelo a lo largo de la trayectoria (discreta) $\gamma$ . Si $\gamma$ es un bucle, es decir, si $x = x_1 = x_n$ entonces $\Lambda(\gamma) : F_x \to F_x$ es la holonomía alrededor de $\gamma$ .

En buenas situaciones, dada una trayectoria suave a trozos $\Gamma : [0,1] \to M$ unirse a $x$ a $y$ podríamos definir $\Lambda(\Gamma)$ observando el transporte paralelo de particiones discretas cada vez más finas de $\Gamma$ , obteniendo al final algo independiente del proceso de partición. Por supuesto, alguna noción de convergencia en $\mathrm{Mor}(F_x, F_y)$ debería existir aquí. Cuando $\Gamma$ es un bucle, es decir, cuando $x=y$ , $\Lambda(\Gamma)$ es la holonomía alrededor de $\Gamma$ .

En el contexto de la geometría diferencial, sabemos (por ejemplo, por la Teorema de Ambrose-Singer ) que la curvatura en $x \in M$ está relacionado con la holonomía alrededor de los bucles infinitesimales basados en $x$ . Así que podríamos imitar esta idea. Más precisamente, si $\{ \Gamma_n : I \to M \}_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de bucles basada en $x$ convergiendo al bucle constante $c_x : I \to \{x \}$ entonces esperamos tener $\lim_{n \to \infty} \Lambda(\Gamma_n) = \Lambda(c_x) = Id$ que no dice nada sobre la curvatura. Así que la curvatura es más una medida de cómo la secuencia $\{ \Lambda(\Gamma_n)\}_{n \in \mathbb{N}}$ se acerca a $Id$ . En geometría diferencial, esto se hace tomando una diferencial (ya que hay, $\mathrm{Mor}(F_x, F_x) = \mathrm{Diff}(F_x)$ es una variedad lisa), pero como hemos mencionado antes, en nuestro contexto, tal noción de diferencial podría no existir.

Obsérvese que la holonomía es una versión global de la curvatura; en geometría diferencial, puesto que sabemos integrar, recuperamos las holonomías integrando la forma 2 de la curvatura alrededor de los bucles. Sin embargo, en un contexto más general, podría ser más natural considerar sólo las holonomías sin tratar de tener una noción infinitesimal de holonomía.