Expresar $1/(x-1)$ en el % de forma $ax^2+bx+c$

Question

<blockquote> <p>Que $x$ ser una raíz de $f=t^3-t^2+t+2 \in \mathbb{Q}[t]$ y $K=\mathbb{Q}(x)$. Expresa $\frac{1}{x-1}$ en el % de forma $ax^2+bx+c$, donde $a,b,c\in \mathbb{Q}$.</p> </blockquote> <p>He probado que $f$ es el polinomio mínimo de $x$ $\mathbb{Q}$ pero estoy atascado con la afirmación anterior. He intentado escribir $\frac{1}{x-1}=ax^2+bx+c$ y resolver $a,b,c$ pero no parece funcionar. ¿Alguna idea?</p>

Answer 1

Usando el Algoritmo euclidiano extendido como se implementó en esta respuesta, recibimos $$\begin{array}{r} &&x^2&1&-(x+2)/3\\hline 1&0&1&-1&(1-x)/3\ 0&1&-x^2&x^2+1&(x^3-x^2+x+2)/3\ x^3-x^2+x+2&x-1&x+2&-3&0\ \end{matriz} $ que significa $$ \left(\vphantom{x^2}x-1\right)\left(x^2+1\right) + \left(x^3-x^2+x+2\right)\cdot\left(-1\vphantom{x^2}\right) =-3 $$, $$-\Frac{x^2+1}3\equiv\frac1{x-1}\pmod{x^3-x^2+x+2} $$

Answer 2

Tenemos $x^3-x^2+x-1+3=0$, que $(x-1)(x^2+1)=-3$, que %#% $ #%

Observación: tenemos "suerte", ya que nuestros cúbicos tiene una forma muy agradable. Sin embargo, todavía podría escribirse un polinomio más feo como un polinomio en $$\frac{1}{x-1}=-\frac{1}{3}(x^2+1).$ (expansión de Taylor). Así funciona la misma idea.