Alguien me dijo que existe una función continua con un derivado de cero por todas partes que no es constante.
No puedo imaginar cómo es posible, y estoy empezando a dudar si es realmente cierto. ¿Si bien es cierto, podría mostrarme un ejemplo? ¿Si no es cierto, cómo haría lo refuta?
Si es derivable en cada punto, entonces esto no puede suceder. Esto se deduce del valor medio teorema:
Si $f(x)$ es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$, entonces por lo menos un punto de $c$$a$$b$, $$f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
Si su $f(x)$ es no constante, pero es diferenciable en todas partes, escoja una de $a$$b$$f(a)\neq f(b)$. Por el MVT, tenemos $$f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \neq 0$$ since $f(b) \neq f(a)$.
Por otro lado, si usted afirma que su función es diferenciable sólo "casi todo" en lugar de "en todas partes" (en un sentido que puede ser precisos) y que la derivada "casi en todas partes" es igual a $0$, entonces esto puede suceder. El ejemplo común es el Cantor de la función (también conocido como el Diablo de la Escalera). Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function.
En resumen, no. Tu amigo puede ser misremembering ejemplos de continua de la nada-diferenciable funciones, por ejemplo, la función de Weierstrass o la frontera de el copo de nieve de Koch.
Yo estaba gong citar el valor medio teorema, pero Jason DeVito se me adelantó. Para agregar a su respuesta, también podría considerar la Picard-Lindelof teorema. ¿Qué significaría para $f$ a adoptar dos valores diferentes, ya que el teorema afirma que su comportamiento local de una función constante?
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