Aplicaciones interesantes de los radianes

Question

Para ponerme en antecedentes, actualmente soy un estudiante de posgrado con una ayudantía de enseñanza y estoy enseñando pre-cálculo este semestre. El departamento nos empuja a que hagamos hincapié en las diferencias y similitudes entre los grados y los radianes y en los casos en los que se puede utilizar uno sobre el otro, por lo que estoy buscando algunas buenas aplicaciones tanto de los grados como de los radianes, pero especialmente de los radianes, ya que la mayoría de los estudiantes ya se sienten cómodos con los grados. Uno de los puntos principales que el departamento quiere que hagamos es que el cálculo de la longitud del arco es mucho más fácil cuando se trabaja con radianes en lugar de grados, pero me gustaría algunos ejemplos adicionales.

Estoy en una escuela estatal más grande y el público es principalmente estudiantes de primer año de universidad o estudiantes que retoman las matemáticas por primera vez en un par de años, así que lo ideal es que los ejemplos no sean esotéricos y requieran muchos conocimientos de matemáticas; así que cosas como $$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$$ no son lo que busco. Puntos extra para los ejemplos en los que trabajar con radianes en lugar de con grados te simplifica la vida.

Answer 1

Las verdaderas razones por las que a los matemáticos les gustan tanto los radios son en gran parte debido al cálculo. Es difícil ignorarlo por completo. Por otro lado, parte de lo que hace el cálculo es probar ciertos hechos sobre los ángulos en radianes que son fácilmente observado incluso con conocimientos iniciales de precálculo.

Por ejemplo, haz que los alumnos pongan sus calculadoras en modo "radianes" y que calculen los senos y tangentes de algunos ángulos no muy grandes ángulos como $0.1,$ $0.02,$ $0.005,$ y $0.001.$ Señala lo cerca que están las respuestas de las entradas (en mi ejemplo, $0.1,$ $0.02,$ $0.005,$ y $0.001,$ respectivamente).

Ahora pida a cada estudiante que imagine que para $20\%$ de la nota de este curso, él, ella o ellos tendrán cinco segundos para dar el seno o la tangente de un ángulo como número decimal, con una precisión del uno por ciento del valor exacto. Se garantiza que el ángulo es menor que $5$ grados. ¿Preferiría el alumno recibir el valor del ángulo en grados o en radianes?

Este ejemplo aprovecha algunos datos que los alumnos pueden aprender más tarde en la rápida convergencia de las series de Taylor para las funciones para las funciones seno y tangente, así como la rápida convergencia de los límites en $$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\tan(h)}{h} = 1.$$ Pero los alumnos no necesitan conocer esos datos ahora con el fin de observar lo bien que se corresponde una medida de un ángulo pequeño en radianes al seno o a la tangente del mismo ángulo.

Otro truco que puedes mostrarles, que requiere un poco más de trabajo por su parte, es utilizar $1 - \frac12x^2$ como una aproximación para $\cos x$ . Por ejemplo, la aproximación $1 - \frac12(0.1)^2 = 0.995$ está de acuerdo con el valor exacto de $\cos(0.1)$ con cinco decimales.

Una aplicación de la aproximación de ángulo pequeño de $\sin x$ se demuestra con el método para medir la distancia a una estrella, como se explica en una respuesta a una pregunta similar .

Y si alguno de los estudiantes tiene interés en la programación informática, señale que las funciones trigonométricas de la mayoría de las bibliotecas matemáticas de los programas informáticos requieren que los ángulos se den en radianes. Hay que admitir que esto es un poco una pregunta: ¿por qué los escritores de bibliotecas de software prefieren los radianes? Se puede intentar explicar esto (las razones se refieren principalmente a por qué los matemáticos prefieren los radianes) o simplemente dejar que el hecho de que estos estudiantes quieran utilizar estas bibliotecas sea una motivación para que se sientan cómodos con los radianes.