¿Por qué no puedo combinar integrales de esta manera?

Question

Evaluar la integral triple $\int^1_0 \int^{1-z}_0 \int^{1-y-z}_0 \text{dxdydz}$, consigo $\frac 16$.

Evaluar la integral triple $\int^1_0 \int^1_0 \int^1_0 \text{dxdydz}$, consigo $1$.

Por lo que resta como: $$\int^1_0 \int^1_0 \int^1_0 \text{dxdydz} - \int^1_0 \int^{1-z}_0 \int^{1-y-z}_0 \text{dxdydz} = \int^1_0 \left(\int^1_0 \int^10 \text{dxdy} + \int^0{1-z} \int^0_{1-y-z} \text{dxdy} \right)\text{dz}= \int^10 \int^1{1-z} \int^1_{1-y-z} \text{dxdydz}$$ and I get $\frac 23$, not $1-\frac 16 = \frac 56$. Así que yo debo combinar las integrales mal. ¿Por qué no puedo yo hacerlo así?

Answer 1

No se puede hacer porque no hay ley de integración que está aplicando. Hay una ley que dice $$-\int_a^b BLAH = \int_b^a BLAH$$ And there is a law which says $% $ $\int_a^b BLAH + \int_b^c BLAH = \int_a^c BLAH$estas leyes funcionan con un solo signo de integral a la vez. Parecen estar tratando de estirar estas leyes para aplicar de manera inadecuada a los integrales iteradas. Pero ha encontrado un contraejemplo, demostrando que sus leyes se extendía son falsas.