(Limite de

Question

Me gustaría saber el límite de $\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac{\ln n}{2}}}{n}$. Noto varias veces teniendo la regla L'opital no ayuda. ¿Existe otro enfoque donde puedo utilizar para derivar el límite?

Answer 1

Sugerencia: $$2^{(\ln n)/2}=2^{(\log_2 n)\frac{\ln 2}{2}}=\left(2^{(\log_2 n)}\right)^{(\ln 2)/2}=n^{(\ln 2)/2}$ $

Ahora simplificar aún más, usando las leyes de exponentes en numerador y denominador de la expresión original.

Answer 2

Que $$y=\dfrac1n2^{\frac12\ln n}\Rightarrow \ln y=\ln n\left(\dfrac{\ln 2}{2}-1\right)\to-\infty$ $ $n\to\infty$, entonces el $y\to0$.

Answer 3

Me gusta @vadim123 la respuesta, pero personalmente creo que viene con el álgebra un poco más intuitiva si me incluir de manera explícita la base del logaritmo estoy tratando de deshacer. Tenemos una $\ln n$ cosa va por aquí, así que queremos incorporar a $e$ de alguna manera.

$$2^{(\ln n)/2}=\left(e^{\ln 2}\right)^{(\ln n)/2}=e^{(\ln n)(\ln 2)/2}=n^{(\ln 2)/2}$$

Sólo por diversión hay una completamente diferente truco que puede hacer aún usando la regla de L'Hospital. Tenga en cuenta que esto solo se calcula el límite, si es que existe; la prueba de la existencia ha de ser cuidado por separado.

Cuando no hacen simplificaciones a la parte superior o la parte inferior y aplicar la regla de L'Hospital, consigue $$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac{\ln n}{2}}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\ln 2}{2}2^{\frac{\ln n}{2}}}{n}.$$

Tirando de la constante de $\frac{\ln 2}{2}$ y llamar al límite desea calculadas $x$, nos encontramos con $$x=\frac{\ln 2}{2}x.$$ Solving for $x$, the limit is $0$.

Answer 4

Set $e^y =2$, entonces el $y \in (0,1)$ (¿por qué?).

Reescribir:

$2^{((\log n)/2)}=e^{(y/2)(\log n)}=$

$e^{\log n^{y/2}}= n^{y/2}$, $y/2 \in (0,1).$

Ahora consideremos el límite $n \rightarrow \infty$ $\dfrac{n^{y/2}}{n}$.