Mapa $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con cierta propiedad de contracción ha punto fijo

Question

<blockquote> <p>Supongo que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua tal que para cualquier real $x$,</p> <p>$|f(x) - f(f(x))| \leq \frac{1}{2} |f(x) -x|$.</p> <p>¿$f$ Tiene que tener un punto fijo?</p> </blockquote> <p>La pregunta parece invitar a una eventual aplicación del teorema contracción estándar. Pero este enfoque no me ha llevado a que hay un punto fijo.</p> <p>Es cierto que existe un punto fijo y si ¿por qué?</p>

Answer 1

Que $x_i$ ser la secuencia definida por $x0=0$ y $x{i+1}=f(xi)$. Entonces la desigualdad implica $$|x{i+1}-x_{i+2}|n>N$, uno tiene %#% $ #%

Sigue que $$|x_m-x_n|\leq |xm-{x{m-1}}|+\ldots +|x_{n+1}-x_n|

Answer 2

Para mejorar aún más la respuesta de Marcos:

la secuencia es Cauchy, desde % todo $n<m tenemos="" x_1-x_0="" x_m="" x_n=""></m>