Demostrando que $\sum_{n=0}^r (-1)^n \binom{r}{n} (s+r-n-1)!/(s-n)! = 0$ sin expansión de Taylor

Question

Que $0<r above="" appear="" as="" coefficient="" de="" directa="" dos="" enteros.="" equal="" expansi="" expansion="" gustar="" identity="" is="" la="" me="" of="" one="" possible="" probar="" prove="" prueba="" que="" s="" ser="" sin="" sum="" suma="" taylor="" taylor.="" tener="" the="" then="" this="" to="" una="" use="" utilizar="" way="" will="" zero.=""></r>

Answer 1

$(s+r-1-n)!/(s-n)!=(s+r-1-n)\cdots(s+1-n)$ es el número de 1 a 1 las funciones de $[r-1]$ $[s+r-1]$ que falta un conjunto fijo de $n$ puntos en la imagen.

Así, por la inclusión-exclusión, su fórmula cuenta con las funciones 1 a 1 $[r-1]$ $[s+r-1]$ cuya imagen contiene el entero $[r]$.

Answer 2

<blockquote> <p>Obtenemos integral $0<r\leq s$:\begin{align*} \color{blue}{\sum_{n=0}^r}&\color{blue}{(-1)^n \binom{r}{n} \frac{(s+r-n-1)!}{(s-n)!}}\\ &=(r-1)!\sum_{n=0}^r(-1)^n\binom{r}{n}\binom{s+r-n-1}{s-n}\\ &=(r-1)!(-1)^s\sum_{n=0}^r\binom{r}{n}\binom{-r}{s-n}\tag{1}\\ &=(r-1)!(-1)^s\binom{0}{s}\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=0} \end{align*} y la afirmación.</p> </blockquote> <p><em>Comentario:</em></p> <ul> <li><p>(1) usando el binomio identidad $\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q$.</p></li> <li><p>En (2) aplicamos la <em><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity#Chu%E2%80%93Vandermonde_identity" rel="nofollow noreferrer">Identidad de Vandermonde de Chu</a></em>.</p></li> </ul>