Es la suma de las raíces de la ecuación $x^4 - 2x^2 \sin^2(\displaystyle {\pi x}/2) +1 =0$

Question

Mi intento: $$x^4-2x^2\sin^2(\frac{\pi x}{2})+1=0\x^4+1=2x^2\left (1-\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right )\(x^2-1)^2=-2x^2\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)\(x^2-1)^2+2x^2\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)=0\x^2-1=0\,\text{and}\, 2x^2\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)=0$ $

Estoy atrapado, estoy confundida ahora que hacer ahora

Answer 1

SUGERENCIA:

Estoy seguro de que puede resolver la ecuación de $x^2-1=0$.

Para la segunda ecuación, tienes que sea $$x^2=0\implies x=0$$ or $$\cos\frac{\pi x}2=0\implies x=\frac2\pi\cdot\left(\frac\pi2+\pi k\right)$$ for some integer $$%k.

Pero, ¿$x=0$?

Answer 2

Sugerencia: Este Consejo también encarga de raíces complejas. Que $a,b,c\in\mathbb{C}$. Demostrar que, para un número complejo $z$ $x:=z$ es una solución a la $$x^4-a\,x^2\,\sin^2(bx)+c=0$$ if and only if $x: z = $ es una solución de la ecuación anterior.

Answer 3

Otra forma de mirar:

\begin{eqnarray} x^{4}-2 x^{2} \cos^{2}\left(\frac{\pi x}{2}\right) +1 &=& x^{4}-2x^2+1 + 2 x^{2} \cos^{2}\left(\frac{\pi x}{2}\right) \ &=& \left(\frac{x^{2}-1}{x \sqrt{2}}\right)^{2} + \cos^{2}\left(\frac{\pi x}{2}\right) \end{eqnarray } ahora implica $ \left(\frac{x^{2}-1}{x \sqrt{2}}\right)^{2} + \cos^{2}\left(\frac{\pi x}{2}\right)=0$,\begin{equation} 0 \ge - \left(\frac{x^{2}-1}{x \sqrt{2}}\right)^{2} = \cos^{2}\left(\frac{\pi x}{2}\right) \ge 0 \end{equation}

Delimitador de ambos medios de lado, tiene que ser la igualdad. \begin{equation} 0 = - \left(\frac{x^{2}-1}{x \sqrt{2}}\right)^{2} = \cos^{2}\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0 \end{equation}

Esto se satisface sólo con $x=\pm 1$.

Answer 4

Si $f(x)\ge0$$g(x)\ge0$, para todos los $x$, luego $$ f(x)+g(x)=0 \qquad\text{si y sólo si}\qquad f(x)=0\text{ y }g(x)=0 $$ Tome $f(x)=(x^2-1)^2$. Esto es igual a cero sólo en$-1$$1$.

Si $g(x)=2x^2\cos^2\bigl(\frac{\pi x}{2}\bigr)$ $g(1)=0$ o $g(-1)=0$? No hay otros valores de $x$ puede $f(x)+g(x)=0$.

Una estrategia diferente es tener en cuenta que el $0\le\sin^2(\pi x/2)\le1$, por lo que el $-2x^2\le-2x^2\sin^2(\pi x/2)$ y por lo tanto $$ x^4-2x^2+1\le x^4-2x^2\sin^2(\frac{\pi x}{2})+1 $$ Si el lado derecho es$0$, $x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2$ debe $0$, lo que implica $x=1$ o $x=-1$. Entonces es sólo una cuestión de comprobar si estos valores son soluciones de la ecuación dada.

Answer 5

Resolución de $x^2$ tenemos

$$ x ^ 2 = \frac 12\left (2\sin ^ 2\left (\frac {x \pi}{2}\right)\pm\sqrt{4\sin^4\left(\frac{x \pi}{2}\right)-4}\right) $$

Ahora sabemos que $-1\le \sin \left(\frac{x \pi}{2}\right)\le 1$ sea la única verdadera solución posible $x = \pm 1$