$\Bbb R[X,Y]/(F) \cong \Bbb R[Z]$ y $F_X G_Y - G_X F_Y \in \Bbb R^*$

Question

Espero que esto no sea un duplicado.

Estaba tratando de resolver el siguiente problema :

Dejemos que $F,G \in \Bbb R[X,Y]$ satisfacer $\Bbb R[F,G]= \Bbb R[X,Y]$ . Demostrar que :

(i) $\Bbb R[X,Y]/(F) \cong \Bbb R[Z]$ para algunos $Z$ y (ii) $F_X G_Y - G_X F_Y \in \Bbb R^*$ (donde $F_X$ etc. denotan derivadas parciales)

No tengo ninguna idea sobre el problema.

Answer 1

Porque ${\mathbb R}[F,G] = {\mathbb R}[X,Y]$ Hay $P, Q \in {\mathbb R}[X,Y]$ tal que $P(F,G) = X$ y $Q(F,G) = Y$ . Entonces, por la regla de la cadena multivariante, $$J_{P,Q}(F,G) \cdot J_{F,G}(X,Y) = J_{X,Y}(X,Y) = I.$$ (Aquí $J_{P,Q}(F,G)$ es la matriz jacobiana de $(P,Q)$ evaluado en $(F,G)$ ; tenga en cuenta que puede ver $(F,G)$ como un mapa de ${\mathbb R}^2$ a ${\mathbb R}^2$ como en la respuesta de Batominovski). Ahora tomamos los determinantes de ambos lados; esto muestra que $\det(J_{F,G}(X,Y)) = F_X G_Y - F_Y G_X$ es un elemento invertible de ${\mathbb R}[X,Y]$ es decir, un elemento de ${\mathbb R}^*$ .

Para el punto (i): ${\mathbb R}[X,Y]/(F) = {\mathbb R}[F,G]/(F) \cong {\mathbb R}[G]$ . (El $\cong$ requiere un poco de discusión; la cuestión es que porque ${\mathbb R}[F,G] = {\mathbb R}[X,Y]$ , $F$ y $G$ se comportan como variables. Esto permite definir un mapa ${\mathbb R}[F,G] \to {\mathbb R}[G]$ por el mapeo $H(F,G)$ a $H(G)$ . El núcleo de este mapa es $(F)$ .)

Observaciones:

• La conjetura jacobiana (real) (en dimensión 2) es la inversa: si $F_X G_Y - F_Y G_X \in {\mathbb R}^*$ entonces ${\mathbb R}[X,Y] = {\mathbb R}[F,G]$ .
• El campo ${\mathbb R}$ es en gran medida irrelevante; puede sustituirse por cualquier campo $k$ . Sin embargo, $F_X G_Y - F_Y G_X \in {\mathbb R}^*$ es una condición diferente a decir que la evaluación de $F_X G_Y - F_Y G_X$ es distinto de cero en cada $(x,y) \in {\mathbb R}^*$ . (Para ${\mathbb C}$ Estas dos condiciones son equivalentes).

Answer 2

La parte (ii) ha sido contestada por Magdiragdag. Amplío la parte (i) a partir de la respuesta de Magdiragdag.

Considere la siguiente función $\phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ enviando $(x,y)\mapsto \big(F(x,y),G(x,y)\big)$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ . Desde $\mathbb{R}\big[F(X,Y),G(X,Y)\big]=\mathbb{R}[X,Y]$ existe $P(X,Y),Q(X,Y)\in\mathbb{R}[X,Y]$ tal que $$P\big(F(X,Y),G(X,Y)\big)=X$$ y $$Q\big(F(X,Y),G(X,Y)\big)=Y\,.$$ Esto significa que el mapa $\psi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ enviando $(x,y)\mapsto \big(P(x,y),Q(x,y)\big)$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ es el mapa inverso de $\phi$ . Esto también demuestra que $$F\big(P(X,Y),Q(X,Y)\big)=X$$ y $$G\big(P(X,Y),Q(X,Y)\big)=Y\,.$$ Ahora, dejemos que $\tau:\mathbb{R}[X,Y]\to\mathbb{R}[U,V]$ sea el homomorfismo de anillo que extiende el requisito de que $1\mapsto 1$ , $X\mapsto P(U,V)$ y $Y\mapsto Q(U,V)$ . Entonces, el ideal $\big\langle F(X,Y)\big\rangle$ de $\mathbb{R}[X,Y]$ se envía al ideal $\langle U\rangle$ de $\mathbb{R}[U,V]$ . Desde $\mathbb{R}\big[P(U,V),Q(U,V)\big]=\mathbb{R}[U,V]$ vemos que $\tau$ es un isomorfismo de anillos. Por lo tanto, $\tau$ induce un isomorfismo $$\mathbb{R}[X,Y]/\big\langle F(X,Y)\big\rangle\cong \mathbb{R}[U,V]/\langle U\rangle \cong \mathbb{R}[V]\,.$$ En consecuencia, si $\sigma:\mathbb{R}[X,Y]\to\mathbb{R}[V]$ es un homomorfismo de anillo que extiende $1\mapsto 1$ , $X\mapsto P(0,V)$ y $Y\mapsto Q(0,V)$ entonces el núcleo de $\sigma$ es precisamente $\big\langle F(X,Y)\big\rangle$ .