En cuanto a subgrupo normal

Question

En un grupo $G$, $H$ es un subgrupo tan finito que no hay ningún otro subgrupo que contiene elementos de $o(H)$. Demostrar que $H$ es normal en $G$.

Answer 1

Sugerencia: Que $g \in G$ y que $gHg^{-1} = {ghg^{-1} \,:\,h \in H}$ es un subgrupo de $G$. ¿Cuál es su orden?

Answer 2

Versión un poco más detallada de la respuesta anterior:

Que cualquier $g \in G$. Sabemos que $ { g \in G:ghg^{-1}}=K_g$ forma un subgrupo de G.

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Prueba: $geg^{-1}=e \in K_g$, es decir $K_g$ es no vacío. Ahora, $[gh_1g^{-1}][gh_2g^{-1}]^{-1}=gh_1h_2^{-1}g^{-1}=gh_3g^{-1} \in K_g$ lo que implica que es un subgrupo de G

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Para probar que $o(H)=o(K_g)$, tomamos elementos arbitrarios en $K_g$. Ahora $gh_ig^{-1}=gh_jg^{-1} \implies h_i=h_j$. Por lo tanto, podemos ver que para cada elemento $g \in G$, tenemos $K_g= H$ [como $o(H)$ es único] por lo tanto, $gHg^{-1}=H, \forall g \in G$, que implica la normalidad del subgrupo $H$.