¿Es la "sombra" invariante bajo la conjugación topológica?

Question

Un homeomorfismo $f: X \rightarrow X$ de un espacio métrico se dice que tiene la propiedad de sombra si para todo $\varepsilon > 0$ hay un $\delta>0$ tal que para cada secuencia $(x_n)_{-\infty}^{\infty}$ con

$$d(x_{n+1},f(x_n))<\delta$$

hay un $y \in X$ con

$$d(f^n(y), x_n)<\varepsilon$$

¿Esta propiedad es invariable bajo conjugación topológica? Creo que puedo demostrarlo suponiendo que el homeomorfismo conjugador es Lipshitz.

Si no es invariante bajo conjugación, ¿por qué es relevante en dinámica?

Answer 1

Sea $f:X\to X$ y $g:Y\to Y$ sean homeomorfismos de espacios métricos. Sea $\Phi:X\to Y$ ser un uniforme conjugación, es decir, una biyección tal que

• ambos $\Phi$ y $\Phi^{-1}$ son uniformemente continuas,
• $f\circ\Phi=\Phi\circ g$ .

Reclamación . Si $g$ tiene la propiedad de sombra, también la tiene $f$ .

Prueba . Sea $\varepsilon>0$ . Por la continuidad uniforme de $\Phi^{-1}$ existe un $\varepsilon'>0$ tal que para $y,y'\in Y$ ,

1. $d(y,y')<\varepsilon'$ implica $d(\Phi^{-1}y,\Phi^{-1}y')<\varepsilon$ .

Por la propiedad de sombra de $(Y,g)$ hay un $\delta'>0$ tal que

2. para cada secuencia $(y_n)_{-\infty}^\infty$ en $Y$ tal que $d(y_{n+1},g(y_n))<\delta'$ hay un punto $\tilde{y}\in Y$ tal que $d(g^n(\tilde{y}),y_n)<\varepsilon'$ . [En palabras: cada $\delta'$ -cadena en $(Y,g)$ es $\varepsilon'$ -sombra por una órbita de $g$ *.]

Por la continuidad uniforme de $\Phi$ existe un $\delta>0$ tal que para $x,x'\in X$ ,

3. $d(x,x')<\delta$ implica $d(\Phi x,\Phi x')<\delta'$ .

Ahora, dejemos que $(x_n)_{-\infty}^\infty$ ser un $\delta$ -cadena en $(X,f)$ Eso es, $d(x_{n+1},f(x_n))<\delta$ . Por (1), $d(\Phi x_{n+1},g(\Phi x_n))<\delta'$ Eso es, $(\Phi x_n)_{-\infty}^\infty$ es un $\delta$ -cadena en $(Y,g)$ . Por (2), esta cadena es $\delta'$ -sombreada por una órbita de $g$ es decir, existe un $\tilde{y}\in Y$ tal que $d(g^n(\tilde{y}),\Phi x_n)<\varepsilon'$ . Por (3), esto último implica que $d(f^n(\Phi^{-1}\tilde{y}),x_n)<\varepsilon$ Eso es, $(x_n)_{-\infty}^\infty$ es $\varepsilon$ -sombreada por la órbita de $\Phi^{-1}\tilde{y}$ en $(X,f)$ .

Q.E.D.

Para homeomorfismos en espacios métricos, la propiedad de sombra no es invariante bajo no uniforme conjugaciones. He aquí un ejemplo:

Contraejemplo cuando la conjugación no es uniforme
Considere $X:=\{2^n: n\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathbb{R}$ y $Y:=\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}$ como espacios métricos con la métrica euclidiana. Definamos $f(x):=2x$ en $X$ y $g(y):=y+1$ en $Y$ . Entonces $f$ y $g$ son homeomorfismos conjugados con mapa de conjugación no uniforme $\Phi x:= \log_2 x$ .

Observe que $(Y,g)$ tiene la propiedad de sombra por la sencilla razón de que cada $\delta$ -cadena en $(Y,g)$ con $\delta\leq 1$ es de hecho una órbita. Por otro lado, $(X,f)$ no tiene la propiedad de sombreado. De hecho, para cada $\delta>0$ (por pequeña que sea), existe una $\delta$ -cadena $(x_n)_{-\infty}^\infty$ en $(X,f)$ que no sea $\varepsilon$ -sombreada por cualquier órbita para cualquier $\varepsilon>0$ (independientemente de su tamaño). En concreto, elija $m\in\mathbb{Z}$ tal que $d(2^m,2^{m+1})<\delta$ (es decir, $m<\log_2\delta$ ) y fijar $x_n:= 2^m$ para cada $n\in\mathbb{Z}$ . Entonces, $(x_n)_{-\infty}^\infty$ es un $\delta$ -cadena pero no puede ser sombreada por ninguna órbita de $f$ .