Sustituir el $b$ $bi$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ convierte la ecuación de la elipse en una ecuación de la hipérbola; ¿hay un significado profundo a esto?

Question

Tengo una especie de extraña duda. Yo estaba haciendo un poco de ejercicios sobre las secciones cónicas y entonces me di cuenta de que una hipérbola y la elipse tiene una extraña relación.

Si tenemos la ecuación de la elipse

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

y hacemos la transformación $b\to bi$ (donde $i^2=-1$), luego tenemos ahora una hipérbola. He hecho algunos de los problemas y derivados de algunas fórmulas con ese hecho.

Por lo tanto, he conceptual duda ahora. Hay un sentido profundo en esta transformación, o es sólo una coincidencia?

Answer 1

Transformación de $b\to bi$ solo da una ecuación de otra sección cónica es una hipérbola (como $b$ es una variable arbitraria, por lo que la transformación no tiene sentido). Transformar realmente $y\to iy$ tiene cierto significado. Multiplicar por $i$ significa la línea, que une el número complejo y origen, en $90^{\circ}$ mantener el valor de rotación (igual a $|i|=1$). Da el resultado que, la familia de curvas que son la trayectoria ortogonal de una elipse que tiene la ecuación $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $ es la hipérbola.