Demuestre que$x^2$ y$x^3$ están conjugados topológicamente en$[0, \infty)$.

Question

Como en el tema. Debo demostrar que las funciones$x ^ 2$ y$x ^ 3$ están conjugados topológicamente. Traté de escribirlo por definición:$f (x ^ 2) = f (x) ^ 3$ y elegir$f (x) = x ^ a$, pero desafortunadamente no funciona. Son mis inicios en este campo, por lo que aún no tengo mucha experiencia.

¿Tienes alguna pista?

Answer 1

Se puede considerar que la función de $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ definido por $$f(x)= \begin{cases} e^{\log(x)^{\log(3)/\log(2)}}&x>1\\ e^{-(-\log(x))^{\log(3)/\log(2)}}&0<x\leq 1\\ 0&x=0 \end{casos}$$

Para encontrar esta función, puede ser útil tener en cuenta que el $x^2$ es topológicamente conjugados a $2x$ a través de $\log$ función y de manera similar a $x^3$ es conjugado a $3x$. Por otra parte $x\to x^{\log(3)/\log(2)}$ es una conjugación entre el$2x$$3x$. Más precisamente, tenemos el siguiente diagrama conmutativo donde $h(x)=\operatorname{sign}(x)|x|^{\log(3)/\log(2)}$