¿Existen polinomios irreductibles de cada grado sobre un campo arbitrario?

Question

Deje $F$ ser un campo arbitrario tal que $[\overline{F}: F]=\infty$. Aquí $\overline{F}$ denota la clausura algebraica. A la pregunta del título de este post puede ser reformulada como:

Pregunta 1. Para cada una de las $n\in\mathbb{N}$, podemos encontrar un campo de extensión de la $L$ $F$ tal que $[L:F]=n$?

Permítanme señalar que la condición de $[\overline{F}: F]=\infty$ es necesario. En efecto, por la Artin-Schreier teorema, la condición de $[\overline{F}:F]<\infty$, de hecho, las fuerzas de $[\overline{F}:F]=2$, en cuyo caso $F$ sólo puede tener extensiones de grado en la mayoría de las $2$. Sospecho que la Pregunta 1 de mayo tienen una respuesta negativa para valores pequeños de a $n$, así que estoy feliz de considerar el más débil problema:

Pregunta 2. ¿Existe un número $n_0$ (que sólo depende de $F$) tal que para cada una de las $n\geq n_0$, existe un campo de extensión de la $L$ $F$ tal que $[L:F]=n$?

En caso de que existan problemas de divisibilidad, siéntase libre de asumir que $F$ es perfecto.

Añadido posterior: se Parece a esta pregunta ya ha sido pedido. Ver este MSE hilo. Antes de cerrar mi pregunta como un duplicado (que es la cosa correcta a hacer), me preguntaba si alguien tiene alguna información adicional o más, en el caso de $F$ es un campo perfecto. Tener los detalles de la construcción es especialmente apreciado!

Answer 1

Deje $\bar{\mathbb{Q}}$ ser el algebraicas cierre de $\mathbb Q$. Considere la posibilidad de un máximo de subcampo $F$ $\bar{\mathbb{Q}}$ que no contengan $\sqrt{2}$; esto es sencillo por el lema de Zorn. Claramente, $F$ no es algebraicamente cerrado y su clausura algebraica $\bar F$ es igual a $\bar{\mathbb{Q}}$.

En primer lugar, tengamos en cuenta que el $[\bar{\mathbb{Q}}:F]=\infty$. Si no, por Artin-Schreier tenemos $\bar{\mathbb{Q}}=F(i)$; en particular,$i\notin F$. Por lo $\sqrt 2\in F(i)$ y podemos escribir $\sqrt 2=a+bi$ algunos $a,b\in F$. Elevando al cuadrado obtenemos $2= a^2-b^2+2abi$, y desde $i\notin F$ tenemos $2ab=0$. No es posible que $b=0$ porque $\sqrt 2=a\in F$, lo $a=0$, es decir,$\sqrt 2=bi$. Por lo $i\sqrt 2=-b\in F$. Pero ahora podemos escribir $0$ como la suma de los cuadrados de los $(i\sqrt 2)^2+1^2+1^2$ $F$ contradiciendo Artin-Schreier.

Ahora, si $F\lneq E\leq\bar{\mathbb{Q}}$ es una extensión finita, entonces la elección de $F$ (el maximality condición) tenemos $\sqrt 2\in E$$F\lneq F(\sqrt 2)\leq E$, por lo tanto $[E:F]$ es incluso por la regla de la cadena. Esto ya dice que $F$ es un ejemplo de un campo perfecto (incluso de carácter $0$) para el cual afirmaciones de Q1 y Q2 que no se mantenga. Pero uno puede resultar más: $[E:F]$ deben ser de grado $2^n$ algunos $n$. Deje $E'$ ser el normal de cierre de $E$$F$, lo $E'/F$ es de Galois. Escribir $[E':F]=2^mk$ donde $m\geq 1$ (vimos que todas las extensiones son incluso de grado) y $k$ es impar. Por la correspondencia de Galois existe una extensión de $L/F$ grado $k$, correspondiente a un Sylow 2-subgrupo de $Gal(E'/F)$. Desde $k$ es impar y extensión adecuada de $F$ son incluso de grado, debe ser$L=F$$k=1$. Por lo $[E':F]=2^m$ y $F\leq E\leq E'$ tenemos $[E:F]=2^n$ algunos $n$.