Pregunta: Si $g$ es una función entera no constante, ¿se deduce que $G_1(z)=g(z)-g\left(z+e^{g(z)}\right)$ no es constante?
La razón por la que me importa es que implicaría la proposición 3 a continuación, que a su vez implica la proposición 1, dando una prueba que podría parecer mejor motivada que la prueba aquí .
Parece al menos plausible. El único pensamiento que he tenido es un poco vago: $-G_1(z)$ es algo así como $g'(z)e^{g(z)}$ . Y $g'e^g$ no puede ser constante: Si $g'e^g=c$ entonces $e^g=cz+d$ . Así que $cz+d$ no tiene cero, por lo tanto $c=0$ y se deduce que $g$ es constante. El problema es que el tamaño de $g'(z)e^{g(z)}+G_1(z)$ depende del tamaño de $e^g$ y también en el tamaño de $g''$ ...
Contexto: El otro día en el enlace anterior me enteré de algo totalmente nuevo para mí:
Prop. 1. Supongamos que $f$ está completo. Entonces $f\circ f$ no tiene punto fijo si y sólo si $f$ es una traslación no trivial ( $f(z)=z+b$ , $b\ne0$ .)
La pregunta obvia es cuándo $f$ tiene un punto fijo - esto es trivial:
Prop. 2. Toda la función $f$ no tiene punto fijo si y sólo si $f(z)=z+e^{g(z)}$ para alguna función completa $g$ .
(Prueba: $f$ no tiene punto fijo si y sólo si $f(z)-z$ no tiene cero...)
Se me ocurrió intentar utilizar la proposición 2 para demostrar la proposición 1: Supongamos $f\circ f$ no tiene punto fijo. Entonces $f$ no tiene punto fijo, por lo que $f(z)=z+e^{g(z)}$ y ahora tenemos algo con lo que trabajar para investigar cuando $f\circ f$ tiene un punto fijo...
Resulta que para llegar a la propuesta 1 desde la propuesta 2 necesitamos esto:
Prop. 3 Si $g$ es una función entera no constante, entonces $G_2(z)=e^{g(z)}+e^{g\left(z+e^{g(z)}\right)}$ tiene un cero.
Demostrando dos afirmaciones anteriores:
Si la respuesta a la pregunta es afirmativa, la propuesta 3 es la siguiente: Si $G_1$ no es constante, entonces el pequeño Picard demuestra que existe $k\in\Bbb Z$ y $z\in\Bbb C$ con $G_1(z)=(2k+1)\pi i$ Esto demuestra que $G_2(z)=0$ .
La proposición 3 implica la proposición 1: Supongamos que $f\circ f$ no tiene FP Entonces $f$ no tiene FP, por lo que $f(z)=z+e^{g(z)}$ . Pero ahora $f(f(z))=z+G_2(z)$ Así pues, decir que $f\circ f$ no tiene FP está diciendo exactamente eso $G_2$ no tiene cero. Así que la proposición 3 implica que $g$ es constante, por lo que $f$ es una traducción no trivial.
De hecho, ambos son equivalentes (y, por tanto, la proposición 3 es verdadera):
La proposición 1 implica la proposición 3: Diga $g$ no es constante y dejemos que $f(z)=z+e^{g(z)}$ . Entonces $f$ no es una traducción, por lo que $f\circ f$ tiene un FP, por lo tanto como antes $G_2$ tiene un cero.
Mi "podría parecer mejor motivado" podría justificarse, dada la extraña aparición de la Proposición 3. En realidad es perfectamente natural: Si estamos investigando cuando $f\circ f$ tiene un FP es natural que primero se pregunte cuando $f$ tiene un FP. Entonces la proposición 2 es trivial, y dada la proposición 2 la cuestión de cuándo $f\circ f$ tiene un FP conduce naturalmente a la proposición 3, ya que $f(f(z))=z+G_2(z)$ . (Y ahora diciendo $G_2$ tiene un cero es claramente equivalente a decir $G_1(z)=(2k+1)\pi i$ para algunos $z$ y para demostrarlo sólo tenemos que demostrar que $G_1$ no es constante, por lo que el pregunta ...) Perfectamente claro, qed.
