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¿Demasiados anuncios?$$\sum\limits{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{(2n+1)!} = \frac{1}{2} \cdot \sum\limits{n=0}^{+\infty} \frac{(2n+1)+1}{(2n+1)!} = \frac{1}{2} \cdot \sum\limits{n=0}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{(2n)!}+\frac{1}{(2n+1)!}\bigg) = \frac{1}{2} \sum\limits{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} = \frac{e}{2}$$
Tal vez los detalles no se explican bien. Si hay algo claro solo pregunta.
Su serie es ∞∑n=1n(2n−1)!.∞∑n=1n(2n−1)!. Let an=n(2n−1)!an=n(2n−1)!, entonces an=122n(2n−1)!=122n−1+1(2n−1)!=12(1(2n−2)!+1(2n−1)!).an=122n(2n−1)!=122n−1+1(2n−1)!=12(1(2n−2)!+1(2n−1)!).
Así $$\sum{n=1}^{\infty}\frac{n}{(2n-1)!}=\frac{1}{2}\sum{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(2n-2)!}+\frac{1}{(2n-1)!}\right) $$=\frac{1}{2}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}=\frac{1}{2}e.