Demostrar que .

Question

<blockquote> <p>Demostrar que $1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dotsb = \frac{e}{2}$.</p> </blockquote> <p>Este es el problema 4 de la página 303 'Trigonometría plana' de S.L.Loney.</p> <p>Parece bastante obvio que se utilizará la serie expansión $e^x$. Sin embargo, no estoy seguro dónde empezar. ¿Debo tener en cuenta otras series?</p>

Answer 1

$$\sum\limits{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{(2n+1)!} = \frac{1}{2} \cdot \sum\limits{n=0}^{+\infty} \frac{(2n+1)+1}{(2n+1)!} = \frac{1}{2} \cdot \sum\limits{n=0}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{(2n)!}+\frac{1}{(2n+1)!}\bigg) = \frac{1}{2} \sum\limits{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} = \frac{e}{2}$$

Tal vez los detalles no se explican bien. Si hay algo claro solo pregunta.

Answer 2

Otro enfoque es $$\sinh x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$ $$$ (x\sinh x)'\Big|_{x=1}=2\left(1+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{5!}+\dfrac{4}{7!}+\cdots\right) que da el resultado.

Answer 3

$$e=(1+1)+\left(\frac {1}{2!}+\frac {1}{3!}\right) +\left(\frac {1}{4!}+\frac {1}{5!}\right) +\left(\frac {1}{6!}+\frac {1}{7!}\right) +\cdots=2\left(1+\frac {2}{3!}+\frac {3}{5!}+\frac {4}{7!}+\cdots\right)$$

P. E. D

Answer 4

Su serie es $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(2n-1)!}.$$ Let $a_n=\frac{n}{(2n-1)!}$, entonces $$a_n=\frac{1}{2}\frac{2n}{(2n-1)!} = \frac{1}{2}\frac{2n-1+1}{(2n-1)}! = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{(2n-2)!} + \frac{1}{(2n-1)!} \right).$$

Así $$\sum{n=1}^{\infty}\frac{n}{(2n-1)!}=\frac{1}{2}\sum{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(2n-2)!}+\frac{1}{(2n-1)!}\right) $$=\frac{1}{2}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}=\frac{1}{2}e.