12 votos

Demostrar que .

<blockquote> <p>Demostrar que 1+23!+35!+47!+=e21+23!+35!+47!+=e2.</p> </blockquote> <p>Este es el problema 4 de la página 303 'Trigonometría plana' de S.L.Loney.</p> <p>Parece bastante obvio que se utilizará la serie expansión exex. Sin embargo, no estoy seguro dónde empezar. ¿Debo tener en cuenta otras series?</p>

23voto

LucaMac Puntos 697

$$\sum\limits{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{(2n+1)!} = \frac{1}{2} \cdot \sum\limits{n=0}^{+\infty} \frac{(2n+1)+1}{(2n+1)!} = \frac{1}{2} \cdot \sum\limits{n=0}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{(2n)!}+\frac{1}{(2n+1)!}\bigg) = \frac{1}{2} \sum\limits{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} = \frac{e}{2}$$

Tal vez los detalles no se explican bien. Si hay algo claro solo pregunta.

12voto

Dana Puntos 51

Otro enfoque es sinhx=x+x33!+x55!+x77!+$$sinhx=x+x33!+x55!+x77!+$$(x\sinh x)'\Big|_{x=1}=2\left(1+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{5!}+\dfrac{4}{7!}+\cdots\right) que da el resultado.

11voto

Rohan Shinde Puntos 8

e=(1+1)+(12!+13!)+(14!+15!)+(16!+17!)+=2(1+23!+35!+47!+)e=(1+1)+(12!+13!)+(14!+15!)+(16!+17!)+=2(1+23!+35!+47!+)

P. E. D

4voto

Ben Throop Puntos 1099

Su serie es n=1n(2n1)!.n=1n(2n1)!. Let an=n(2n1)!an=n(2n1)!, entonces an=122n(2n1)!=122n1+1(2n1)!=12(1(2n2)!+1(2n1)!).an=122n(2n1)!=122n1+1(2n1)!=12(1(2n2)!+1(2n1)!).

Así $$\sum{n=1}^{\infty}\frac{n}{(2n-1)!}=\frac{1}{2}\sum{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(2n-2)!}+\frac{1}{(2n-1)!}\right) $$=\frac{1}{2}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}=\frac{1}{2}e.

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