Límites interesantes

Question

Hace poco me vino con un problema que creo que es bastante interesante, y aquí está.

Vamos $$I(n)=\lim_{x\to 0} \left(\frac {1}{(e^x-1)^n} -\frac {1}{\left(\frac {x}{1!}+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\cdots +\frac {x^n}{n!}\right)^n}\right) $$ Evaluate $I(n)$ in terms of $$n

Ahora he intentado un montón de joder ups con este monstruo. Trató de L'Hospital, el teorema del sándwich, Stolz-Cesaro, teorema Binomial y Multinomial teorema, etc. Pero no podía llegar a la forma general. En la escritura de algunos términos de uso de Wolfy puedo conseguir $I(1)=\frac {-1}{2}$ , $I(2)=\frac {-1}{3}$, $I(3)=\frac {-1}{8}$, $I(4)=\frac {-1}{30}$ y así sucesivamente

Pasar algún tiempo en estas observaciones podría conjeturar que

$$I(n)=\frac {-n}{(n+1)!}$$

y trató de esta fórmula para comprobar si era coherente con otros valores de $n$ y de hecho se fue. Así que Ahora tengo la forma general, pero ninguna prueba.

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Y algo que es muy interesante en esta cuestión es que la primera fracción que tiene un denominador de una función elevada a la potencia $n$, mientras que el denominador de la segunda fracción es nada, pero el de Maclaurin de expansión de esa función con términos finitos (aquí $n$ términos) elevado a la potencia de $n$. Así que traté de probar con algunas otras funciones y los resultados que me impresionó mucho.

1) $$J(n)=\lim_{x\to 0} \left(\frac {1}{(\ln (1+x))^n} -\frac {1}{\left(x-\frac {x^2}{2}+\frac {x^3}{3}-\cdots +\frac {(-1)^{n+1} x^n}{n}\right)^n}\right) =\frac {(-1)^{n+1}n}{n+1}$$

2)$$G(n)=\lim_{x\to 0} \left(\frac {1}{(\arccos x-\frac {\pi}{2})^n} -\frac {1}{\left(\underbrace{\frac {x}{1}+\frac {x^3}{6}+\frac {3x^5}{40}+\frac {5x^7}{112}+\cdots}_{\text {n terms}}\right)^n}\right) $$ Ahora este límite es más interesante porque es igual a $0$ para todos incluso natural $n$ y no existe para cualquier extraño natural $n$

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Ahora lo que yo realmente quiero es un método adecuado para resolver este tipo de problemas. Usted puede tomar cualquiera de los 2 mejores de los límites ( he.e de $(e^x-1)$ o $\ln (1+x)$) para demostrar su método.

Gracias de antemano por su atención.

Answer 1

Deje$a=e^x-1$ y$b=\frac {x}{1!}+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\cdots +\frac {x^n}{n!}$, así que es fácil de ver:$a\sim x$,$b\sim x$ y$b-a\sim -\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ como$x\to 0.$$$\frac {1}{(e^x-1)^n} -\frac {1}{\left(\frac {x}{1!}+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\cdots +\frac {x^n}{n!}\right)^n}$ $$$=\frac{b^n-a^n}{a^nb^n}=\frac{(b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})}{a^n b^n}$ $$$\sim\frac{\left(-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right)(nx^{n-1})}{x^{2n}}\to\frac {-n}{(n+1)!},$ $ como$x\to 0$.