¿Cuál es el radio de la tangente del círculo negro para los tres de estos círculos?

Question

Los círculos rojos, azules y verdes tienen diámetros 3, 4 y 5, respectivamente.

¿Cuál es el radio de la tangente del círculo negro para los tres de estos círculos?

Apenas me di cuenta del radio es exactamente $\dfrac{72}{23}$ pero no sé cómo hacer la solución.

Answer 1

El radio es exactamente $\dfrac{72}{23}$, bastante limpio. Vea la figura de abajo, donde las líneas punteadas desde el centro de la circumcribing circunferencia pasa por los puntos medios de los lados del triángulo.

Vamos a : $B$ ser el origen $(0,0)$, y el centro del círculo de desconocido radio de $r$$(x,y)$. A continuación, vamos a resolver las siguientes tres ecuaciones para encontrar $r$

$\dfrac{3}{2}+\sqrt{x^2+(\dfrac{3}{2}-y)^2}=r$

$2+\sqrt{(2-x)^2+y^2}=r$

$\dfrac{5}{2}+\sqrt{(2-x)^2+(\dfrac{3}{2}-y)^2}=r$

de modo que $(r, x, y)= \left(\dfrac{72}{23}, \dfrac{36}{23}, \dfrac{24}{23}\right)$

Nota: Los puntos medios de los lados $(0,\dfrac{3}{2})$, $(2,0)$, y $(2,\dfrac{3}{2})$ son centros de círculos de radios $\dfrac{3}{2}, 2, \dfrac{5}{2}$. Dado que cualquiera de los dos círculos tangentes, sus centros y puntos de tangencia son colinear.

Bonus: Si a la derecha del triángulo : $\triangle ABC$ ha racional de los lados, a continuación, $(r,x,y)$ también son todos racionales.

Answer 2

Vamos a hallar la tangente del círculo mediante la aplicación de la inversión de la transformación, o, equivalentemente, que trabajan en el complejo de dominio y la aplicación recíproca de transformación de $w=1/\overline{z}$.

Vamos a (0,0), o la inversión de centro, será la intersección de los 3 círculos. Otro círculo intersecciones son $(0,3)$, $(4,0)$ y $\frac{12}{25}\left(3,4\right)$.

La inversión de la transformación de transformar un círculo que pasa a través del centro en una línea, y otros círculos, en círculos. Por lo tanto, dado tres círculos se transforman en líneas de intersección a 3 puntos; mientras que los grandes (todavía desconocido) de la tangente del círculo se transforma en círculo tangente en esas tres líneas. Transformado intersección de las coordenadas son:

$ \begin{array}{lcr} (0,3) && \longrightarrow&& \left(0,\frac{1}{3}\right)\\ (4,0) && \longrightarrow && \left(\frac{1}{4},0\right)\\ \frac{12}{25}\left(3,4\right) && \longrightarrow && \left(\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)\end{array} $ Hay 4 círculos tangentes en todos los 3 líneas: 1 inscritos y 3 escribed círculo. La correcta (0,0) en su interior. Encontrar las coordenadas del centro y el radio (la solución de ecuación de segundo grado) da la siguiente círculo:

$c=\left(-\frac{1}{6},-\frac{1}{4}\right)\quad r=\frac{1}{2}$

La transformación de la espalda escribed círculo da la necesaria tangente del círculo. Tomar nota de que, mientras que los puntos de un círculo de transformarse en un círculo, un círculo de centro no transforma a un correspondiente al centro del círculo. El radio de la transformada círculo se puede deducir por trabajar en la línea que une el origen y el centro del círculo. La transformación de 2 puntos del círculo que son colineales con el círculo de centro y el origen da.

$2R= \left|\frac{1}{|c|-r}-\frac{1}{|c|+r}\right|\\ R= \frac{r}{\left||c|^2-r^2\right|}\\ R=\frac{72}{23}$

Aquí está la foto con el titulo de la tangente del círculo, así como otra de la tangente a la circunferencia correspondiente a la circunferencia inscrita del espacio recíproco.

Answer 3

Gracias por sus respuestas que me ayudaron a hacer una solución

$M{red}=\dbinom{0}{3/2}$ , $r{red}=\dfrac{3}{2}$ , $M{blue}=\dbinom{0}{2}$ , $r{blue}=2$, $M{green}=\dbinom{2}{3/2}$ , $r{green}=\dfrac{5}{2}$

$M{black}=M=\dbinom{x}{y}$ , $r{black}=r$

$length(v)=\dfrac{v}{\sqrt{v{x}^{2}+v{y}^{2}}}$ , $unitvec(v)=\dfrac{v}{length(v)}$

$d{red}=length[M{red}+unitvec(M{red}-M)\times r{red}-M]$

$d{blue}=length[M{blue}+unitvec(M{blue}-M)\times r{blue}-M]$

$d{green}=length[M{green}+unitvec(M{green}-M)\times r{green}-M]$

$\dbinom{0}{3/2}+\dfrac{\dbinom{0}{3/2}-\dbinom{x}{y}}{\sqrt{(0-x)^{2}+(3/2-y)^{2}}}\times \dfrac{3}{2}-M$ $\Rightarrow $ $d_{red}=\sqrt{\left(-x-\dfrac{3x}{\sqrt{4x^{2}+(3-2y)^{2}}}\right)^{2}+\left(3/2-y+\dfrac{9-6y}{2\sqrt{4x^{2}+(3-2y)^{2}}}\right)^{2}}$

$\dbinom{2}{0}+\dfrac{\dbinom{2}{0}-\dbinom{x}{y}}{\sqrt{(2-x)^{2}+(0-y)^{2}}}\times 2-M$ $\Rightarrow $ $d_{blue}=\sqrt{\left(2-x+\dfrac{4-2x}{\sqrt{(-2+x)^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+\left(-y-\dfrac{2y}{\sqrt{(-2+x)^{2}+y^{2}}}\right)^{2}}$

$\dbinom{2}{3/2}+\dfrac{\dbinom{2}{3/2}-\dbinom{x}{y}}{\sqrt{(2-x)^{2}+(3/2-y)^{2}}}\times \dfrac{5}{2}-M$ $\Rightarrow $ $d_{red}=\sqrt{\left(2-x-\dfrac{5(-2+x)}{\sqrt{25+4x(-4+x)+4y(-3+y)}}\right)^{2}+\left(3/2-y+\dfrac{5(3/2-y)}{2\sqrt{(-2+x)^{2}+(-3/2+y)^{2}}}\right)^{2}}$

Establecer estas 3 ecuaciones r y resolviendo para x, y, r del círculo negro da como resultado:

$x=\dfrac{36}{23} , y=\dfrac{24}{23} , r=\dfrac{72}{23}$

Answer 4

Es simplemente el problema de Apolonio y resuelto por las siguientes tres ecuaciones de cuadráticas utilizando WolframAlpha para centro $ (x,y) $y radio $r$ del círculo mayor, que es tangente a otras tres círculos;

(1) $ x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = (r - \frac{3}{2})^2 $, círculo en el lado de longitud $ = 3 $,

(2) $ (x - 2)^2 + y ^ 2 = (r - 2)^2 $, círculo en el lado de longitud $ = 4 $,

(3) $ (x - 2)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = (r - \frac{5}{2})^2 $, círculo en el lado de longitud $ = 5 $.

La solución es $ x = \frac{36}{23}, y = \frac{24}{23} $ y radio $ r $ es el % de respuesta $ = \frac{72}{23} $.