Determine el campo de división de$x^4 - 7$ sobre

Question

Determine el campo de división de$x^4 - 7$ sobre

(un) $\mathbb{Q}$

(b)$\mathbb{F}_{5}$

(c)$\mathbb{F}_{11}$

Para (a): $x^4 - 7 = (x-\sqrt[4]{7})(x+\sqrt[4]{7})(x-i\sqrt[4]{7})(x+i\sqrt[4]{7})$. El campo de división de$x^4 - 7$ es$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{7},i)$.

Para (b) y (c): quiero determinar el campo de división sobre$\mathbb{F}_{p}$ (para$p \neq 7$, por supuesto). ¿Cómo puedo determinar esto? ¿Es posible?

Answer 1

Mi algoritmo para los campos de la $\Bbb{F}_p$:

1. Determinar el orden de $7$ como una raíz de la unidad, es decir, su orden en el el grupo multiplicativo.
2. Determinar los órdenes de las raíces de el polinomio en el grupo multiplicativo de la división de campo, llame a la más grande de ellas $m$ (que no todos pueden ser iguales, pero la otros son los factores de la más grande).
3. Encontrar el menor exponente $n$ tal que $m\mid p^n-1$.
4. El campo $\Bbb{F}_{p^n}$ es la más pequeño que contiene a $m$th raíces de la unidad. Como se contiene a todos ellos debe ser la división de campo.