Para responder a la pregunta, debemos hacer algunas suposiciones. La menos plausible es la de que si el estudiante no ha aprendido de memoria la respuesta, ella recibirá $0$ sobre la cuestión. Vamos a suponer también que las preguntas para que sean memorizados, y las preguntas en el examen, son todos la misma probabilidad de ser elegido, y el independiente.
Si $k\ge 8$, el alumno obtendrá una puntuación perfecta, a la que llamamos $4$. Así que ahora tenemos que lidiar con $0\le k\le 7$. Los argumentos para $k\le 4$ $5\le k\le 7$ son un poco diferentes.
Caso $k\le 4$: Para cualquier $i$$0$$4$, podemos calcular la probabilidad $p_i$ que exactamente $i$ de la memorizado preguntas están en la prueba. Hay $\binom{12}{8}$ igualmente probable de las formas para elegir el $8$ preguntas.
Hay $\binom{k}{i}$ formas de elegir los $i$ memorizado preguntas y para cada una de estas formas hay $\binom{12-k}{8-i}$ formas de elegir el resto de la $8$ a las preguntas de la $12-k$ unmemorized. Así
$$p_i=\frac{\binom{k}{i}\binom{12-k}{8-i}}{\binom{12}{8}}.$$
Estamos utilizando la convención de que si $a\lt b$$\binom{a}{b}=0$.
Finalmente, el resultado esperado es $\sum_{1}^4 ip_i$.
Casos $5\le k\le 7$: vamos a hacer un caso de ejemplo, decir $k=6$. A continuación,$p_0=p_1=0$.
Las probabilidades de $p_2$ $p_3$ se calcula como en el caso de $k\le 4$. Pero $p_4$ es diferente, ya que es posible que el profesor elija más de $4$ preguntas que el estudiante ha aprendido de memoria. La solución es fácil, $p_4=1-p_2-p_3$.
