Función de emparejamiento de Godel y prueba c = c * c para aleph cardenales

Question

Tengo un par de preguntas acerca de Gödel función de sincronización y probar que c = c * c para aleph cardenales. En su mayoría, sin embargo, me preocupa que la mayoría de las pruebas a las que me he visto son erróneas, y esto me preocupa. (Y he buscado muchas veces por una buena prueba.)

Así que el fin de la clase x En lexicográficamente, y esta es una buena ordenación, De modo que x es el fin-isomorfo a por una asignación única P: x ->. Esto tiene perfecto sentido. Pero en cada "prueba" de c = c * c que yo he visto, ha habido algunos flagrante error.

Por ejemplo, una "prueba" se basa en la "proposición", que "Si $\gamma$ = max($\alpha$,$\beta$) y al menos uno de $\alpha$,$\beta$ es infinito, entonces P($\alpha$,$\beta$) <= tarjeta de($\gamma$) x tarjeta($\gamma$)." Pero me parece que esto es falso, y he aquí por qué: por lo que parece claro que (0,$\omega$) es el primer ordinal límite en x En virtud de la ordenación lexicográfica, y, por supuesto, $\omega$ es el primer límite ordinal--en consecuencia, debemos tener P(0,$\omega$) = $\omega$; pero luego P(1,$\omega$) = $\omega$ + 1, lo que contradice la "proposición" (puesto que P(1,ω) = ω + 1 no es <= $\omega$, que es la tarjeta de($\gamma$) x tarjeta($\gamma$), como $\gamma$ = $\omega$). Estoy mal aquí?

Supongo que lo que estoy pidiendo es algún tipo de explicación real de cómo Gödel función de sincronización se utiliza para probar que c = c * c para todos aleph cardenales c. Incluso si esto sólo involucra me apunta hacia una fuente decente, eso sería increíble.

Answer 1

Creo que se olvida de un cierto punto. La prueba no es que el ordinal $P(\alpha,\beta)\leq\max\{|\alpha|,|\beta|\}^2$, sino que $|P(\alpha,\beta)|$ es menos que eso.

La desigualdad es de cardinalidades, no para de tipos. Y, de hecho, tenga en cuenta que $P(\alpha,\beta)$ cuando ambos son contables, es una contables ordinal.

Ahora podemos seguir con nuestro inducción en la paz. Supongamos que para todos los $\lambda<\kappa$ podemos demostrar que $\lambda\times\lambda=\lambda$, y de nuevo, que la igualdad es de cardenales!

Ahora vamos a mostrar que el tipo de orden de $\kappa\times\kappa$ (como un conjunto de pares de números ordinales!) es $\kappa$, pero eso es fácil. Dado cualquier punto de $(\alpha,\beta)\in\kappa\times\kappa$ entonces, por la hipótesis de inducción tenemos que $P(\alpha,\beta)\leq\lambda$ donde $\lambda=\max\{|\alpha|,|\beta|\}$. Por lo tanto, el tipo de orden de $P(\alpha,\beta)$ es menor que el tipo de orden de $\kappa$.

No es difícil mostrar que $\kappa$ es el único bien el fin de que toda la adecuada segmento inicial tiene el tamaño de $<\kappa$, pero el fin en sí tiene cardinalidad de, al menos,$\kappa$. Desde que claramente $\kappa\times\kappa$ tiene al menos $\kappa$ muchos elementos, pero cada segmento inicial debe tener menos, $P$, restringido a $\kappa\times\kappa$ es de hecho un bijection entre el $\kappa$ $\kappa\times\kappa$ como quería.

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Tenga en cuenta que usted tiene que mantener mucha atención cuando la discusión es acerca de los cardenales y cuando se trata de los números ordinales, y a veces es sólo acerca de los conjuntos de los números ordinales. Eso es un punto delicado, y uno de los menos afortunados typecasts y sobrecargas en la teoría de conjuntos; pero en las manos de otros que la misma menos afortunados característica a veces nos permite ahorrar en la notación y simplificar las cosas.

También relacionados: Para todos infinito cardenales $\kappa, \ (\kappa \times \kappa, <_{cw}) \cong (\kappa, \in).$

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Si usted no quiere que usted puede utilizar un Zorn-como argumento, la mezcla de ambos inducción transfinita y "diversión". El punto es que no estamos realmente atractivo para el lema de Zorn (lo que habría hecho el conjunto de la prueba mucho más corto), pero en lugar de demostrar la existencia de un elemento maximal directamente, o al menos una "máxima suficiente" elemento".

Supongamos que para todos los $\lambda<\kappa$ podemos demostrar que $\lambda\times\lambda=\lambda$. Deje $P$ ser el orden parcial cuyos elementos son de $(A,f)$ donde $A\subseteq\kappa$ $f\colon A\to A\times A$ es un bijection. Decimos que $(A,f)\leq(B,g)$ si $A\subseteq B$$f\subseteq g$.

Por la hipótesis de inducción este conjunto es no vacío. También tenga en cuenta que cada cadena tiene al menos un límite superior (la unión de cada una de las coordenadas de los elementos de la cadena, por supuesto). Así que basta encontrar una máxima de cadena.

Deje $I_0$ ser cualquier cadena, y asumir que se incluye por lo menos su límite superior $(A_0,f_0)$. Se construye a través de la inducción de las cadenas, si $A_0$ tiene cardinalidad $\kappa$ hemos terminado, ya que eso significa que hay un bijection de$\kappa$$\kappa\times\kappa$. Supongamos que no, $\alpha_0$ ser al menos no en $A_0$. considere la posibilidad de $A'_0=A_0\cup\{\alpha\}$, entonces tenemos (uno puede, y debe verificar estas igualdades para los conjuntos de los números ordinales en $\sf ZF$): $$|A'_0|\cdot|A'_0|=|A_0+1|\cdot|A_0+1|=|A_0^2+2\cdot A_0+1|=|A_0|.$$

Por lo tanto, no existe $f'_0\colon A'_0\to A'_0\times A'_0$. Por otra parte, podemos asegurar que dichas $f'_0$ extends $f_0$, por la combinatoria de los malabares de los elementos básicos y el cardenal aritmética. A continuación, extendemos $I_1$$I_0\cup\{(A'_0,f'_0)\}$.

Ahora continuar con la inducción, en el límite etapas de la unión de las anteriores cadenas y agregar la menor cota superior de.

Después de $\kappa$ pasos que debe de haber agotado nuestros dominios posibles, y han construido un elemento maximal cuyo dominio es un conjunto de tamaño $\kappa$, y por lo tanto tenemos la quería conclusión: $\kappa$ $\kappa\times\kappa$ son equiparables.