Demostrar que hay $x \in [0,1]$ tal que $|f''(x)| > 4$

Question

<blockquote> <p>Asumir $f$ tiene un segundo derivado continuo con $f(0) = f'(0) = f'(1) = 0$ y $f(1) = 1$. Demostrar que hay $x \in [0,1]$ tal que $|f''(x)| > 4$.</p> </blockquote> <p>También debemos tener que $f'$ es continuo por differentiability. Por lo tanto, por Teorema de Rolles existe un $c$ $[0,1]$ tal que $f''(c) = 0$. No estoy seguro de cómo utilizar el hecho de que $f(1) = 1$ para ver que $|f''(x)| > 4$.</p>

Answer 1

$$f(\frac{1}{2}) = f(0) + f'(0)(\frac{1}{2}) + \frac{f''(\theta_1)}{2}(\frac{1}{2})^2 = f''(\theta_1)\frac{1}{8}$ #% $ $ %#%, $$f(\frac{1}{2}) = f(1) - f'(1)(\frac{1}{2}) + \frac{f''(\theta_2)}{2}(\frac{1}{2})^2 = 1 + f''(\theta_2)\frac{1}{8}$ Y $0\le \theta_1 \le 1/2$ la combinación de ambos, tenemos $1/2 \le \theta_2 \le 1$ $ toma el valor absoluto, $$ 1 = f''(\theta_1)\frac{1}{8} - f''(\theta_2)\frac{1}{8}$ $

Así que c es uno de los $$ 1 \le max {|f''(\theta_1)|, |f''(\theta_2)|} \frac{1}{4}$.

Que %#% $ #%

$\theta_1, \theta_2$ $, por lo que la igualdad tiene para este.

Answer 2

Vamos a probar la desigualdad estricta por la contradicción.

Set $g=f'$. Por hipótesis, $g$ $C^1$ en $[0,1]$, $\;g(0)=g(1)=0$ y $\displaystyle \int_0^1g(x)\,\mathrm d\mkern1mu x=1$.

Supongamos $\lvert g'(x)\rvert\le 4$. Esto significa

• $g'\le 4$, lo que implica $g(x)\le 4x$$\bigl[0,\frac12\bigr]$, de modo que $$\int_0^{1/2}\!\!g(x)\,\mathrm d\mkern1mu x\le4\int_0^{1/2}x\,\mathrm d\mkern1mu x=\frac12.$$ Furthermore, we have equality if and only if $g(x)=4x$ on $\bigl[0,\frac12\bigr]$.
• $g'\ge -4$, lo que implica $g(x)\le 4(1-x)$$\bigl[\frac12,1\bigr]$, de modo que $$\int_{1/2}^1g(x)\,\mathrm d\mkern1mu x\le4\int_{1/2}^1(1-x)\,\mathrm d\mkern1mu x=\frac12,$$ and we have equality if and only if $ g(x)=4((1-x) $ on $\bigl[\frac12,1\bigr]$.

Ahora, como $\displaystyle \int_0^1g(x)\,\mathrm d\mkern1mu x=1$, tenemos la igualdad en ambos casos. Por lo tanto $g$ está definido por $$g(x)=\begin{cases}4x &\text{if}\enspace x\in\bigl[0,\frac12\bigr],\\ 4(1-x)&\text{if}\enspace x\in\bigl[\frac12,1\bigr]. \end{casos}$$ Esto contradice derivability de $g$$x=\frac12$.

Answer 3

Tenemos $$ \eqalign{ 1&=f(1)-f(0)=\int_0^1 f'(x)\,dx\cr &=\int_0^{1/2}f'(x)\,dx+\int_{1/2}^1 f'(x)\,dx\cr &=\int_0^{1/2}\int_0^xf"(t)\,dt\,dx\int_{1/2}^1 \int_x^1f"(t)\,dt\,dx\cr &=\int_0^{1/2}(1/2-t)f"(t)\,dt-\int_{1/2}^1 (t-1/2)f"(t)\,dt.\cr } $$ En consecuencia, si $|f''(t)|\le 4$ todos los $t\in[0,1]$, luego por el de arriba y el triángulo de la desigualdad, $$ \eqalign{ 1&\le 4 \int_0^{1/2}(1/2-t)\,dt+4\int_{1/2}^1(t-1/2)\,dt\cr Y=-2(1/2-t)^2\Big|_0^{1/2}+2(t-1/2)^2\Big|_{1/2}^1\cr Y=1/2+1/2=1.\cr } $$ De ello se sigue que $$ \int_0^{1/2}(1/2-t)|f"(t)|\,dt=\int_{1/2}^1 (t-1/2)|f"(t)|\,dt=1/2, $$ que togetther con la hipótesis de $|f''(t)|\le 4$ todos los $t$ implica que el $|f''(t)|=4$ todos los $t\in[0,1]$. Como $f''$ es continua, se debe tener $f''(t)=4$ todos los $t$ o $f''(t)=-4$ todos los $t$. En el primer caso $f(x)=2x^2$ en violación de $f(1)=1$. Asimismo, la segunda alternativa conduce a una contradicción.