¿cuál es la definición de una interpretación de la teoría de primer orden? $T$ ¿Qué es un modelo para $T$ ?

Question

¿cuál es la definición de una interpretación de la teoría de primer orden? $T$ ¿Qué es un modelo para $T$ ?

¿puede darme la definición apoyada con algunos ejemplos sencillos?

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he leído la definición en first order mathematical logic de angelo margaris , 1990 ed , dover publications , en la página 35

pero la definición no tiene sentido para mí ..

gracias

Answer 1

La entrada en Wikipedia: Lógica de primer orden ayuda a desambiguar los términos y da una especie de ejemplos.

Véase especialmente el apartado "Semántica":

• "Estructura de primer orden"

  "La forma más común de especificar una interpretación (especialmente en matemáticas) es especificar una estructura (también llamada un modelo ; véase más abajo). El estructura [modelo] consiste en un conjunto no vacío D que forma el dominio del discurso y una interpretación que de los términos no lógicos de la firma. Esta interpretación es a su vez una función ..."

• "Satisfacción",

• la subsección "teorías y modelos de primer orden",

  • " Una estructura de primer orden que satisface todas las sentencias de una teoría dada se dice que es un modelo de la teoría ."

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Un gran recurso, al embarcarse en el estudio de Enderton (y tal vez bueno para leer antes de profundizar en Enderton) es el libro de Paul Teller Cartilla de Lógica . (Es de descarga gratuita y, lo que es más importante, discute ampliamente las interpretaciones y los modelos, así como la implicación tautológica, la wff y la lógica de primer orden en general).

Answer 2

Consideremos, por ejemplo, la teoría de los grupos parciales ordenados:

En su lenguaje hay un símbolo de operación binaria, $\cdot$ (la multiplicación), un símbolo constante $1$ (la unidad), un símbolo de operación unario ${()}^{-1}$ y un símbolo de relación binaria $\le$ . (El símbolo de igualdad se suele suponer también presente, por defecto.) Un sistema de axiomas para ello es el $6$ conjunto de elementos $T$ de las siguientes fórmulas ( $T$ también se denomina teoría ):

1. $\forall x\forall y\forall z \ ((x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z))$
2. $\forall x\ (1\cdot x=x)$
3. $\forall x\ (x^{-1}\cdot x=1)$
4. $\forall x\ (x\le x)$
5. $\forall x\forall y\forall z\ ((x\le y\,\land\, y\le z )\implies x\le z)$
6. $\forall x\forall y\forall z\ (x\le y \implies (x\cdot z\le y\cdot z\ \land\ z\cdot x\le z\cdot y) )$

Un modelo de $T$ es una realización de los símbolos de operación y relación sobre un conjunto base tal que satisface los axiomas. Por lo tanto, primero tenemos que considerar un modelo $\mathfrak M$ para el lenguaje de primer orden dado: hasta ahora no es más que un conjunto $M$ , dotado de un sistema binario ( $\mu:M\times M\to M$ ), un unario ( $\sigma:M\to M$ ) y una constante ( $c\in M$ ), y una relación binaria $(L\subseteq M\times M)$ .

Ce site $\mathfrak M$ se dice que es un modelo para $T$ si todos los elementos de $T$ se satisface en $\mathfrak M$ al interpretar los símbolos en consecuencia, con respecto a todas las evaluaciones de las variables (siempre que la variable $x$ se evalúa en $M$ , $x\cdot y$ se evalúa como $\mu(x,y)$ , $x^{-1}$ como $\sigma(x)$ , $1$ como $c$ y $x\le y$ como $(x,y)\in L$ ).