Grupo de Weyl de un cociente por un subtorus central.

Question

Esta es probablemente una pregunta fácil, colgado en algún detalle menor, pero no puedo encontrar una prueba para ella. Yo trate de trabajar a través de T. A. Springer del libro "algebraicas Lineales grupos" y me quedé atrapado en la observación 7.1.4. (Sé que ya hay una pregunta sobre el mismo comentario, pero en cuanto a diferentes declaración hecha en ella). Específicamente estoy interesado en la corrección de los siguientes:

Deje $G$ ser conectado algebraicas lineales grupo, $T\subset G$ a un máximo de subtorus y $S \subset C(G)$ otro toro, situada en el centro del grupo $G$. Entonces se cumple que: $$W(G,T) \cong W(G/S,T/S).$$

Así que lo que hago es:
Para $n\in N_G(T)$, uno ya ha $nTn^{-1}=T$, por lo tanto, también el módulo de $S$, lo que da una función $$\phi : N_G(T) \a \frac{N_{G/S}(T/S)}{Z_{G/S}(T/S)} \\ n \mapsto n ~\mathrm{mod}~S~,$$ que es surjective, porque $S\subset T$ (que yo podría hacer eso).

Lo que necesito sería un indicio de cómo la prueba, que $\ker(\phi) = Z_G(T)$ mantiene. Gracias de antemano!

Answer 1

$\require{AMScd}$ Así que he encontrado una respuesta a esta pregunta en Humphrey "algebraicas Lineales grupos" (todo el párrafo §25). Hay más general de la proposición es la que se muestra, a saber:
Para un epimorphism $\varphi : G\to G'$, de tal manera que $\varphi(T) =: T'$ es la máxima toro de $G'$, $\ker(\varphi)$ está contenida en cada grupo de Borel $G$, $\mathfrak{B} \to \mathfrak{B}'$ (la inducida por el mapa de Borel grupos), $\mathfrak{B}^T \to \mathfrak{B}'^{T'}$ (inducida por el mapa de Borel grupos de más de $T$) y $W(G,T) \to W(G',T')$ (inducida por el mapa de grupos de Weyl (como $\phi$ en la pregunta)) son bijective.
El punto es, que $W(G,T) \cong \mathfrak{B}^T$, y que hay un diagrama conmutativo $$\begin{CD} W(G,T) @>>> W(G',T') \\ @VV{\cong}V @VV{\cong}V\\ \mathfrak{B}^T @>>> \mathfrak{B}'^{T'}, \end{CD}$$ donde las flechas horizontales son inducidos por la epimorphism $\varphi$.
Voy a mostrar bijectivity de la horizontal inferior de la flecha:
Basta para mostrar de inyectividad para $\mathfrak{B} \to \mathfrak{B}'$. Así que toma dos Borel grupos de $G$, llamarlos $B_1$$B_2$, s.t. $\varphi(B_1)=\varphi(B_2)$. Luego por la conjugacy teorema $B_1= gB_2g^{-1}$, para algunas de las $g\in G$. A continuación, se sostiene que $\varphi(B_1) =\varphi(g)\varphi(B_1)\varphi(g)^{-1}$, es decir,$\varphi(g)\in N_{G'}(\varphi(B_1)) =\varphi(B_1)$. Desde $\ker(\varphi) \subseteq B_1$, $g\in B_1$ y, por tanto, $B_1=B_2$ sigue.
Para surjectivity tome $B'$ Borel grupo de $G'$,$T'$. A continuación, $\varphi^{-1}(B')$ es algunos de los subgrupos $H$, s.t. $G/H \to G'/B'$ es un epimorphism. Desde $G'/B'$ es completa (Borel grupo es parabólico) $G/H$ es completa, es decir $H$ es una parabólica y contiene al menos una Borel grupo $B$. Ahora $\varphi(B) \subseteq B'$ es un Borel grupo dentro de uno más grande, por lo tanto, por el conjugacy teorema, están de acuerdo.
Esto demuestra que $W(G,T)\to W(G',T')$ es bijective.

Ahora para mostrar que las condiciones de Humphrey son en realidad reunió, por los que aparecen en la pregunta:

• $S\subseteq C(G)^0 \subseteq C(B) \subseteq B$, es decir, la identidad de los componentes de la centro de la $G$ se encuentra en el centro de cada Borel grupo $B$.
• $S$ se encuentra en $T$, debido a $S$ $Z_G(T)^0$ (que conmutan con todos los elementos de a $T$) y por lo tanto hay un máximo de toro en el Cartan subgrupo de $T$$S$. Ya que sólo hay un máximo de toro en $Z_G(T)^0$ y es $T$, $S\subseteq T$.

Voy a omitir el resto, como es nuevo contenida en Springer del libro.

Answer 2

Compruebe que el $N_{G/S}(T/S) = NG(T)/SZ{G/S}(T/S) = Z_G(T)/S$ y uso el tercer Teorema del isomorfismo.

Voy a escribir los detalles de por qué $Z_{G/S}(T/S) = Z_G(T)/S$. La inclusión '$\supseteq$' es clara. Por el contrario, que $gS \in G/S$ y Supongamos que $gS$ viajes con todos los elementos de $T/S$. Esto significa que para todas las $t \in T$, $gtg^{-1} \in S$ %. Entonces $gtg^{-1}$ conmuta con todo en $G$, así

$$gt = (gtg^{-1})g = g(gtg^{-1})$$

que implica $t = gtg^{-1}$. Así $g \in Z_G(T)$ y $gS \in Z_G(T)/S$.