La cuestión es:
Demuestre formalmente la siguiente afirmación: Dada una matriz A y un escalar c, demuestre que rank(cA) = rank(A)
Estos son los pasos que seguí para realizar la prueba:
(1) Demuestre esta afirmación: Sean v1, v2, ..., vN vectores
entonces {v1, v2, ..., vN} es linealmente independiente <==> {c* v1, c*v2, ..., c * vN} también es lin. ind.
No lo escribo entero aquí, pero la demostración es trivial jugando con los coeficientes
(2) Sea (c * A_ij) donde i = 1, 2, ..., m; y j es fijo donde j pertenece a {1, 2, ..., n} denota una columna linealmente independiente en la matriz cA
(3) Entonces sea S = { (c * A_ij)} el conjunto de todas las columnas linealmente independientes de la matriz cA, donde cada elemento de S satisface (2)
(4) Por cómo defino el conjunto S, todos los elementos de S son columnas ind. lin. de la matriz cA.
Entonces uso la afirmación (1) para decir que las columnas A_ij de la matriz A también deben ser lin. ind.
También observo que, por definición, el rango es el número máximo de columnas (o filas) lin. ind. de una matriz. Así que creo que rank(cA) es básicamente la cardinalidad del conjunto S. Entonces por (4), concluyo que cuando me "muevo" de cada columna ind. lin. de la matriz cA a cada columna ind. lin. de la matriz A, no cambio el número de columnas ind. lin. Por lo tanto, rank(cA) = rank(A).
¿Podría alguien ayudarme a comprobar si falta algo o hay algún error en mi prueba? De alguna manera me siento un poco inestable en la forma en que defino los índices de las columnas linealmente independientes en la matriz cA. Muchas gracias ^_^
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Es posible que desee asumir $c\ne0$ .
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@Cecile Veo que esta es su sexta pregunta aquí, sin embargo, usted ha aceptado $0$ respuestas. Siempre que obtengas una respuesta satisfactoria a una de tus preguntas, debes aceptar tu respuesta favorita.