Necesito ayuda para entender el axioma de la extensionalidad

Question

Estoy intentando aprender la Teoría de Conjuntos y actualmente estoy trabajando con la obra de Halmos Teoría de conjuntos ingenua . Diré que entiendo completamente la esencia del axioma de la extensionalidad. Sin embargo, donde estoy tropezando es en la comprensión de su formalización en la notación del constructor de conjuntos. Así que, mirando: $$\forall x\forall y \, \left(x=y \leftrightarrow \forall z \, \left(z\in x \leftrightarrow z\in y\right)\right)$$

La parte que no sigo es la $\left(z\in x\leftrightarrow z\in y\right)$

Así que, en mi cabeza, si imagino que tengo un conjunto $x$ es decir $\{ “a”, “b”, “c”\}$ y tengo un conjunto $y$ es decir $\{“a”, “b”, “c”, “d” \}$ intuyo que por el Axioma de Extensión, los conjuntos $x$ y $y$ no son iguales. Sin embargo, no entiendo cómo el enunciado formal podría producir esto. Así, por ejemplo, supongamos que tenemos un conjunto $z$ es decir $\{ “a”, “b”, “c”\}$ .

Así que, en mi mente, esto es lo que hago para trabajar mentalmente con el enunciado formal del axioma. Primero, me pregunto ¿Es $z$ en $y$ ? Bueno, ya que $y$ es $a, b, c, d$ y $z$ es $a, b, c$ - por lo que ciertamente parece que $z$ es, de hecho, en $y$ . Entonces me preguntaré: ¿Es $z$ en $x$ ? Bueno, $x$ es $a, b, c$ y $z$ es $a, b, c$ - por lo que ciertamente parece que $z$ también está, de hecho, en $x$ ¡! Por lo tanto, la expresión $\left(z \in x \leftrightarrow z \in y\right)$ debe evaluarse como Verdadero y por lo tanto $x = y$ (lo cual, por supuesto, sé que es un error).

Así que, espero que puedas ver por qué estoy atascado en esto. Supongo que la raíz de mi malentendido es un fallo en la forma en que estoy interpretando el enunciado formal; específicamente la conectiva bicondicional iff; pero no estoy viendo cómo/por qué lo estoy haciendo.

Cualquier ayuda para aclarar dónde / cómo estoy tropezando en esto sería muy apreciada.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Estás confundiendo $z\in y$ ( $z$ es un elemento de $y$ ) con $z\subseteq y$ ( $z$ es un subconjunto de $y$ ). También es posible que se malinterprete el significado de $\forall z$ .

Veamos $x$ y $y$ como en su ejemplo, y que $z=d$ . Entonces, suponiendo que $d$ no es igual a ninguno de $a$ , $b$ o $c$ tenemos $z\in y$ pero $z \notin x$ . Así que por Extensionalidad, concluimos que $\lnot(x=y)$ . Recuerde que $x=y$ si y sólo si para todo $z$ , $z\in x \iff z\in y$ . No puedes elegir el $z$ que usted considerará. Además, si elige $z$ como tú, es decir $z=\{a,b,c\}$ entonces no tenemos $z\in x$ Aunque tenemos $z \subseteq x$ . Por eso conjeturo que te cuesta distinguir entre $z \in x$ y $z \subseteq x$ .

Informalmente, la Extensionalidad dice que dos conjuntos $x$ y $y$ son iguales si y sólo si $x$ y $y$ tienen el mismo elementos .

Comentario: El libro que está revisando es una obra clásica, muy bien escrita. A pesar del paso de muchos años, sigue siendo, en mi opinión, la mejor introducción a la teoría de conjuntos. Buena elección.

Answer 2

Consulte la respuesta Lo he publicado aquí.

La definición del Axioma de Extensionalidad a la que haces referencia supone una definición particular del conjunto $z$ que es diferente de los conjuntos "arbitrarios" $x$ y $y$ .

Creo que $z$ se supone que es un conjunto "universal" sobre todo el Dominio del Discurso, en cuyo caso esta definición del Axioma de Extensionalidad de repente tiene mucho sentido.