¿Qué hay de malo en la siguiente sustitución en u?

Question

Calcularemos $\displaystyle\int^{2 \pi}_0 x \, dx$ . Sea $u=\sin (x)$ y observa que $\sin(2 \pi)=0$ y $\sin(0)=0$ . También tenemos que $\frac{du}{dx}=\cos(x)=\sqrt{1-u^2}$ . Por lo tanto, $$\int^{2 \pi}_0 x \, dx=\int^0_0 \frac{\sin^{-1}(u)}{\sqrt{1-u^2}} \, du = 0.$$ Esto es obviamente incorrecto, pero no estoy seguro de cómo explicar el error formalmente.

Editar: Gracias por las respuestas y, en particular, por el enlace que aparece a continuación sobre el problema relacionado. El error es efectivamente causado por la sustitución $x=\sin^{-1}(u)$ . La integración se realiza sobre $[0,2 \pi]$ que está fuera del alcance del $\sin^{-1}$ función.

Nota: El error se disimula un poco mejor al calcular $\displaystyle\int^1_{-1}\frac{2x}{1+x^2} \, dx.$

Dejemos que $u(x)=1+x^2$ y observa que $u(1)=u(-1)=2$ . Entonces, como $dx=\frac{1}{2x} du$ tenemos que $$\int^1_{-1} \frac{2x}{1+x^2} \, dx = \int^2_2 \frac{1}{u} \, du=0.$$ Esta vez no se utiliza ninguna sustitución trigonométrica, pero sigue siendo una prueba incorrecta por la misma razón que la anterior. Se puede obtener una prueba correcta utilizando el hecho de que $x \mapsto \displaystyle\frac{2x}{1+x^2}$ es impar.

Este ejemplo es más inquietante porque los procedimientos anteriores son totalmente intuitivos y dan el resultado correcto. Me parece que cuando se enseña a los estudiantes la integración por sustitución de integrales definidas, también se les debe enseñar que hay que tener mucho cuidado al comprobar el rango de integración, sobre todo cuando la (aparente) función de sustitución no es invertible en ese rango.

Answer 1

• Al contrario de lo que dice el PO Nota: /reclamación, la solución de integración por sustitución proporcionada para el ejemplo $\displaystyle\int^1_{-1}\frac{2x}{1+x^2} \, \mathrm{d}x\,$ es en realidad perfectamente válida -y no molesta- a pesar de la función de sustitución $u=1+x^2$ no siendo inyectiva (y ciertamente tampoco invertible) en $[-1,1]$ : la integración por sustitución no requiere intrínsecamente que la función de sustitución sea invertible/bijetiva o monótona -o incluso inyectiva- en el intervalo de integración.

  Integración por sustitución (cambio de variable):

  Si $g'$ es integrable en $[a,b]$ y $f$ es continua en $g[a,b]$ , entonces $$\int_a^bf(g(x))g'(x)\mathrm{d}x=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\mathrm{d}u.$$

  En este ejemplo :
  Dejemos que $g(x)=1+x^2,\,\,f(u)=\frac1u,\text{ and }\,a=-1,b=1$ .

  Entonces $f(g(x))=\frac1{1+x^2},\,\,g'(x)=2x,\text{ and }\,g(a)=g(b)=2$ .

  El teorema anterior es válidamente aplicable aquí $$\int^1_{-1}\frac{2x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\int_2^2\frac1u\, \mathrm{d}u=0,$$ Sin embargo, $g(x)$ no es inyectiva en $[-1,1].$

• Sin embargo, al dividir la integral original de forma que la función de sustitución sea inyectiva en cada subintervalo hace generalmente evitan que el proceso de sustitución se ejecute en "fallos" (debidos a la aplicación incorrecta de la teoría de la integración por sustitución teorema de la sustitución).

  Así, para el ejemplo principal del OP :

  Dejemos que $u=\sin x\,$ para que $\,\mathrm{d}u=\cos x \,\mathrm{d}x$ .

  Ahora, para $x\in[0, \frac{\pi}{2}]$ , $$\begin{align}\cos x &= \sqrt{1-u^2},\\x&=\arcsin u;\end{align}$$ para $x\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ , $$\begin{align}\cos x &= -\sqrt{1-u^2},\\x&=\pi -\arcsin u;\end{align}$$ para $x\in[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ , $$\begin{align}\cos x &= \sqrt{1-u^2},\\x&=2\pi +\arcsin u.\end{align}$$

  Por lo tanto, $$\begin{align}\int^{2\pi}_0 x \,\mathrm{d}x&=\int^\frac{\pi}{2}_0 x \,\mathrm{d}x + \int^\frac{3\pi}{2}_\frac{\pi}{2} x \,\mathrm{d}x + \int^{2\pi}_\frac{3\pi}{2} x \,\mathrm{d}x\\&=\int^1_0 \frac{\arcsin u}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u + \int^{-1}_1 \frac{\pi-\arcsin u}{-\sqrt{1-u^2}} \,\mathrm{d}u + \int^0_{-1} \frac{2\pi + \arcsin u}{\sqrt{1-u^2}} \,\mathrm{d}u\\&=\pi\int^1_{-1} \frac{\,\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}+2\pi\int^0_{-1} \frac{\,\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}\\&=\pi\bigg[ \arcsin u\bigg]_{-1}^1+2\pi \bigg[\arcsin u\bigg]_{-1}^0\\&=2\pi^2.\end{align}$$

Answer 2

La fórmula sustituida debe coincidir con la fórmula sustituida en cada intervalo. $\sin^{-1}(u)\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ no puede cubrir todo el $[0,2\pi]$ . Una forma más segura de sustituir es hacerlo en intervalos monótonos de la fórmula sustituida: $$\begin{align} \int_0^{2\pi}x\,\mathrm{d}x &=\overbrace{\int_0^1\color{#C00}{\sin^{-1}(u)}\,\mathrm{d}\sin^{-1}(u)}^{x=\sin^{-1}(u)\in\left[0,\frac\pi2\right]} +\overbrace{\int_{-1}^1\left(\color{#090}{\pi}+\color{#00F}{\sin^{-1}(u)}\right)\,\mathrm{d}\sin^{-1}(u)}^{x=\pi+\sin^{-1}(u)\in\left[\frac\pi2,\frac{3\pi}2\right]} +\overbrace{\int_{-1}^0\left(\color{#C90}{2\pi}+\color{#C9F}{\sin^{-1}(u)}\right)\,\mathrm{d}\sin^{-1}(u)}^{x=2\pi+\sin^{-1}(u)\in\left[\frac{3\pi}2,2\pi\right]}\\ &=\color{#C00}{\frac{\pi^2}8}\color{#090}{+\pi^2}\color{#00F}{+0}\color{#C90}{+\pi^2}\color{#C9F}{-\frac{\pi^2}8}\\[9pt] &=2\pi^2 \end{align}$$

Answer 3

Creo que qwerty314 podría tener una mejor respuesta más directa a su pregunta de fondo de por qué su método particular no produce el resultado deseado. Dicho esto, cabe señalar que en realidad se puede obtener el resultado deseado utilizando la sustitución trigonométrica por no cambiar los límites de la integración, y en lugar de volver a sustituir el resultado y luego evaluar que en el original $x$ límites. A saber, dada la integral indefinida

$$\int x\, dx,$$

dejar $$x=\sin u \Rightarrow dx=\cos u \, du.$$

Entonces

$$\begin{align*} \int x\, dx &= \int \sin u \cos u \, du \\ &= -\frac{\cos^2 u}{2}. \end{align*}$$

Al dejar que $\frac{x}{1}=\sin u$ en nuestra sustitución original, ahora formamos un triángulo rectángulo con ángulo $u$ , lado opuesto $x$ y la hipotenusa $1$ . Por lo tanto, el lado adyacente es $\sqrt{1-x^2}$ . Leyendo desde este triángulo tenemos que

$$-\frac{\cos^2 u}{2}=-\frac{1-x^2}{2}.$$

Ahora bien, si evaluamos este resultado en nuestros límites obtenemos

$$\begin{align*} -\frac{1-x^2}{2}\bigg|_0^{2\pi} &= -\frac{1-4\pi^2}{2}-\left( -\frac{1-0^2}{2} \right)\\ &=-\frac{1}{2}+\frac{4\pi^2}{2}+\frac{1}{2}\\ &=2\pi^2. \end{align*}$$

Este es, por supuesto, el resultado que esperaríamos si hubiéramos calculado la integral definida de la manera habitual.

Answer 4

Sustituyendo u=sin(x) restringirá el rango de x a [-pi,pi], mientras que x tiene rango [-inf,inf].

Answer 5

Debería ser obvio que la integral debe evaluarse en la dirección progresiva, de lo contrario algunas partes de la suma se deducen en lugar de sumarse. Para ello, la transformación debe ser monótona.