Relación entre los coeficientes de Fourier de $f\left(x\right)$ y $f^{-1}\left(x\right)$

Question

Digamos que tengo una función $f\left(x\right)$ que puede expresarse como una serie de Fourier:

$$f\left(x\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx}$$

Definir la inversa de $f\left(x\right)$ como, $f^{-1}\left(x\right)=1/f\left(x\right)$ con su serie de Fourier:

$$f^{-1}\left(x\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} {c'}_k e^{ikx}$$

¿Existe una relación conocida entre ${c'}_k$ y $c_k$ ? Es decir, si sé $c_k$ ¿Puedo obtener ${c'}_k$ ¿directamente?

En mi caso concreto me interesan las funciones para las que se cumple lo siguiente:

1. $x\in\left[0,2\pi\right]$
2. $0 \lt f\left(x\right)$
3. $f\left(x\right)$

Answer 1

La relación entre los coeficientes de $f$ est $1/f$ es opaco. Consideremos el caso especial en que $\hat f\in \ell^1(\mathbb Z)$ (por lo tanto, la función $f$ es continua). Si $f$ no desaparece, entonces los coeficientes de Fourier de $1/f$ también están en $\ell^1$ esto es Wiener's $1/f$ teorema . Si pudieras obtener los coeficientes de $1/f$ directamente, tendrías una prueba constructiva del teorema de Wiener, con algún explícito $\ell^1$ estimación de la norma. Pero en realidad no existe tal cosa, a pesar de algunos resultados parciales. Véase el artículo En busca del espectro invisible por Nikolskii. Recuerdo haber asistido a la charla del autor titulada "Por qué no existe una prueba constructiva de la teoría de Wiener". $1/f$ teorema?" (visto aquí ) pero, lamentablemente, ya no recuerdo el motivo.

Answer 2

Parece que, al menos en determinadas condiciones, los coeficientes de $1/f$ puede obtenerse a partir de los coeficientes de $f$ . Según el último comentario sobre ESTE véase los dos documentos siguientes:

"A. Edrei y G. Szegö, "A note on the reciprocal of a Fourier series", Proc. Am. Math. Soc., vol. 4, no. 2, pp. 323-329, 1953".

"R. Duffin, "El recíproco de una serie de Fourier", Proc. Am. Math. Soc., vol. 13, no. 6, pp. 965-970, 1962".