No cero polinomio tal que $P(T)=0$

Question

Quiero demostrar que si $T:V\to V$ es un operador lineal (con V no necesariamente finita), pero con un límite de rango (es decir, Dim$T(V)=k$), entonces existe un polinomio distinto de cero, tales que $$P(T)v=0, \forall v \in V$$

Mi primera idea fue trabajar con el polinomio característico de a $T|_{T(V)}:T(V)\to T(V)$. Desde $T$ $T(V)$_invariant, el operador $T|_{T(V)}$ está bien definido, y desde Dim$T(V)=k$, se puede calcular su polinomio característico. Por lo tanto, si definimos $P$ a ser el polinomio característico de a $T|_{T(V)}$, por cayley-hamilton teorema, sabemos que: $$P(T)v=0, \forall v \in T(V)$$ ¿Cómo puedo extender para todos los $v\in V$.

Answer 1

Sugerencia: Puede multiplicar $P$ por algo para conseguir un nuevo polinomio $Q$ tal que cuando evaluas $Q(T)v$, usted siempre evaluará $P(T)$ en un elemento de $T(V)$?

Una respuesta completa se oculta debajo.

Que $Q(x)=P(x)x$. Entonces para cualquier $v\in V$, $Q(T)v=P(T)Tv=0$ desde $Tv\in T(V)$.