Estoy tratando de probar que los números algebraicos son countably infinito, y tengo una sugerencia de uso: después de fijar el grado del polinomio, considere la posibilidad de sumar los valores absolutos de sus coeficientes enteros, y el establecimiento de la suma menor o igual a $m$, para cada una de las $m \in \mathbb{N}$. También me permite usar el hecho de que cada polinomio tiene un número finito de raíces. No estoy seguro de por dónde empezar... Quizás después de fijar el grado de los polinomios, yo podría tratar de enumerar, y después de probar countability de un conjunto que contiene las raíces de los polinomios de un cierto grado, podría decir que la unión de una infinidad de ($\bigcup_{n=1}^{\infty}$, $n \in \mathbb{N}$) countably conjuntos infinitos es contable, y por lo tanto los números algebraicos son countably infinito, también, pero no estoy seguro de si esto es una buena aproximación de cómo enumerar los polinomios. Gracias!
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La sugerencia bastante le dice qué hacer.
En primer lugar, considerar los polinomios de grado $1$ en la que la suma del valor absoluto de los coeficientes es $1$; hay sólo un número finito de ellos, cada uno con un número finito de raíces. (Piense de esta colección como correspondiente a la par $(1,1)$, la primera $1$ dan el grado, el segundo $1$ dando la suma del valor absoluto de los coeficientes).
A continuación, considere los polinomios de grado $2$ cuya suma del valor absoluto de los coeficientes es $1$; una vez más, sólo un número finito, cada uno con un número finito de raíces; hacen de este conjunto corresponden a $(2,1)$.
A continuación, los polinomios de grado $1$ cuya suma del valor absoluto de los coeficientes es $2$; sólo un número finito, cada uno con un número finito de raíces. El conjunto corresponde a el par $(1,2)$.
A continuación, considere la posibilidad de que el par $(3,1)$; el par $(2,2)$; el par $(1,3)$. A continuación, pasar a la par de $(4,1)$, seguido por $(3,2)$, seguido por $(2,3)$, seguido por $(1,4)$. Etc.
Esto se asegurará de cubrir todos y cada polinomio de grado positivo con coeficientes enteros después de un número finito de pasos; muchos números algebraicos ocurrirá más de una vez, pero eso no es un problema para demostrar que son en la mayoría de los contables (que son infinitas debe ser trivial).
Que es exactamente el enfoque correcto! La sugerencia proporcionada a usted es acerca de cómo se podría ir sobre la enumeración de los polinomios sobre $\mathbb{Z}$. Se puede mostrar que hay un número finito de polinomios sobre $\mathbb{Z}$ grado $n$ y con suma-de-absoluta-valores de los coeficientes de menos de $m$, para cualquier $m$? Cómo muchos de los polinomios de grado $n$ hay más de $\mathbb{Z}$, entonces? Cómo muchos de los polinomios de más de $\mathbb{Z}$ están allí, entonces? Cuántas raíces de los polinomios de más de $\mathbb{Z}$ (es decir, números algebraicos) están ahí, entonces?
