Límite de secuencias: $\lim \frac{(2n)!}{(n!)^2} $

Question

Verificar si la secuencia

$$\frac{(2n)!}{(n!)^2}$$

converge.

Mi intento:

$$\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(2n)(2n-1)...(n+1)}{n.(n-1)...1} \geq \frac{(n+1)^n}{n!} $$ Tal vez sea más fácil demostrar que esta última secuencia es divergente.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Tenga en cuenta que

$$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$$

Entonces la secuencia diverge.

Answer 2

Estás muy cerca. ¿Puedes ver que $$\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(2n)(2n-1)...(n+1)}{n.(n-1)...1} \geq 2^n$$

Answer 3

$$\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\binom{2n}{n}=4\left(1-\frac{1}{2n}\right)\cdot\binom{2n-2}{n-1}$$ por lo tanto, ya que $1-x\geq \exp\frac{x}{x-1}$ : $$\begin{eqnarray*}\binom{2n}{n}&=&4^n \prod_{j=1}^{n}\left(1-\frac{1}{2j}\right)\geq 4^n\exp\left(-\sum_{j=1}^n \frac{1}{2j-1}\right)\\ &\geq&4^n\exp\left(-1-\frac{1}{2}\log n\right)=\frac{4^n}{e\sqrt{n}}.\end{eqnarray*}$$

Answer 4

$$\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(2n)(2n-1)...(n+1)}{n.(n-1)...1} \geq \frac{(n+1)^n}{n!} \geq \frac{n^n}{n!} $$

Si demuestran que la sequnece $a_n = \frac{n!}{n^n}$ converge a 0, entonces se ha demostrado que $\lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{n!} = \infty$ y por lo tanto su secuencia original también va a $\infty$ .

Puedes utilizar el teorema de convergencia monótona. Primero demuestra que la secuencia es decreciente, $$ \frac{n!}{n^n} \geq \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \Leftrightarrow \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \geq 1 \Leftrightarrow \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \geq 1 $$

Entonces, como la secuencia está acotada, $\frac{n!}{n^n}\geq 0$ debe converger. Así que existe un límite, llamémoslo $\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{n^n} =a$ entonces $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}a_{n+1} = a $ . Podemos expresar $a_{n+1}$ con $a_n$

$$ a_{n+1} = a_n\left(\frac{n}{n+1} \right)^n $$

Es el límite como $n \to \infty$ esto se convierte en $$ a = a\frac{1}{e} $$

Así que $a$ debe ser $0$ .

Answer 5

Sólo hay que utilizar el resultado

Si $\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a $ y $|a|>1$ entonces $\lim_{n\to \infty} = \infty$ .

En su caso

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2(n+1)}{n+1}. $$

Creo que puedes terminarlo.