En el campo de los números reales tenemos ninguna ambigüedad si definimos (como de costumbre) $a^{\frac{1}{2}}$ como el positivo de la raíz de $a$ $a^\alpha=e^{\alpha \log a}$ ( $a\le 0$ ) .
Los problemas vienen cuando vamos a los números complejos, como una consecuencia del hecho de que $e^{i 2 k \pi}=1 \;\forall k \in \mathbb {Z}$. Por lo $y=e^{i x}$ es una función periódica ( también para $x \in \mathbb{R}$) y no es invertible.
Así, en el campo de los números complejos, tenemos:
$$
y=e^x \iff y=e^x\cdot 1 = e^xe^{i2k\pi}=e^{x+i2k\pi}
$$
y a la inversa "función" es una función de varios valores :
$$
\log y= x+i2k\pi
$$
podemos encontrar $x$ escritura de los números complejos $y$ en forma polar como $y=|y|e^{i\theta}$, por lo que, de $|y|e^{i\theta}=e^x$ tenemos $x=\log |y| +i\theta$ y el:
$$
\log y= \log |y| +i\theta+i2k\pi
$$
Como consecuencias de este hecho para la $y,x,\alpha \in \mathbb{R}$ $y,x >0$ (esto implica $\theta=0$), tenemos:
$$
y=x^\alpha \iff y=e^{\alpha\log x}=e^{\alpha(\log |x|+i2k\pi)}
$$
Para $\alpha=1/2$ esto le da a las dos raíces cuadradas y para $\alpha$ irracional da, en general, muchos de los valores.
