combinación correcta de las reglas de diferenciación

Question

Estoy tratando de calcular la derivada de una función bastante compleja para mi tarea. Creo que he encontrado la solución, sólo que parece demasiado voluminosa para mi gusto. Ver la parte inferior para las preguntas específicas que tengo con respecto a mi solución.

$ f(x)=\frac{\overbrace{\sin x}^\text{u(x)}\cdot \overbrace{e^x+x^3}^\text{v(x)}}{\underbrace{x^3+2x+2}_\text{w(x)}} $

$ u'(x)=\cos x $ , $ v'(x)=e^x+3x^2 $ , $ w'(x)=3x^2+4x $

$ \begin{align*} u'v'(x)&=(\sin x\cdot e^x+3x^2)+(\cos x\cdot x^3)\\ &= e^x\cdot\sin x+3x\cdot\sin x+x^3\cdot\cos x \end{align*} $

$ \begin{align*} f'(x)&= \frac{u'v'(x)\cdot w(x)-w'(x)\cdot uv(x)}{w(x)^2}\\ &= \frac{(e^x\cdot\sin x+3x\cdot\sin x+x^3\cdot\cos x)\cdot (x^3+2x^2+2)-(3x^2+4x)(\sin x\cdot e^x+x^3)}{(x^3+2x^2+2)^2} \end{align*} $

La pregunta obvia: ¿Es correcto este derivado?

Especialmente:

• ¿Es realmente posible calcular la derivada dividiendo la función en funciones parciales y calculándolas juntas siguiendo las reglas de diferenciación, tal y como lo hice yo?

• ¿Es posible reducir los sumandos aplicando alguna regla que desconozco? Por ejemplo, reduciendo $(e^x\cdot\sin x+3x\cdot\sin x+x^3\cdot\cos x)$ a algo con una sola $\sin$ ¿o algo así?

Answer 1

Tu solución está bastante cerca, pero recuerda que no estás multiplicando $\sin x$ por $(e^x + x^3)$ en el numerador, como cuando intentas multiplicar $u'(x)$ por $v'(x).$ En su lugar, intente diferenciar su numerador de la siguiente forma: $e^x\sin x + x^3.$ Creo que el resto se desprende de la regla del cociente.

$n(x) = e^x\sin x$

$d(x) = x^3 + 2x + 2$

$n'(x) = e^x \cos x + e^x\sin x$

$d'(x) = 3x^2 + 2$

$\frac{d}{dx} \frac{n(x)}{d(x)} = \frac{n'(x)d(x) - d'(x)n(x)}{d(x)^2}$

$ = \frac{(e^x\cos x + e^x\sin x)(x^3 + 2x + 2) - (3x^2+2)(e^x\sin x)}{(x^3 + 2x + 2)^2}$

que es complicado pero se puede simplificar.