condición dos número complejo $a$ y $b$ $|a+b| = |a| + |b|$

Question

Si $a$ $b$ son dos números complejos y $a \neq 0$, a continuación, que muestran que la condición necesaria para $|a+b| = |a| + |b|$ $b/a$ es real y no negativo.

Hice lo siguiente y me quedé pegado

$ \hspace{12 m m} | a + b | ^ 2 = (| a | + | b |) ^ 2 \ \implies (a + b) (\bar un + \bar = b) | a | ^ 2 + 2 | un || b | + | b | ^ 2 \ \implies \bar a b + a b \bar = 2 | un || b | $

Answer 1

Usted puede tomar un enfoque geométrico. Vamos a considerar $a$ y $b$ como dos vectores bidimensionales sobre las reales. Entonces la norma complejo es simplemente la norma euclidiana bidimensional. Así que tienes dos vectores cuya suma de normas hasta la norma de la suma. Desigualdad del triángulo (para un espacio euclídeo) dice usted consigue igualdad sólo si el triángulo es degenerado, es decir, $a$ es un múltiplo escalar de $b$. Dicho escalar debe ser real y no negativo. BAM, estamos listos.

Answer 2

Como usted ha dicho que quiere $$\bar{a}b+a\bar{b}=2\left|ab\right|\implies(\bar{a}b+a\bar{b})^2=4\left|ab\right|^2\implies(\bar{a}b)^2+2a\bar{a}b\bar{b}+(a\bar{b})^2=4a\bar{a}b\bar{b}\implies(\bar{a}b)^2-2a\bar{a}b\bar{b}+(a\bar{b})^2=0\implies(\bar{a}b-a\bar{b})^2=0\implies\bar{a}b=a\bar{b}$ $ creo que ahora puede completar la prueba con el hecho de que $$z\in \mathbb{R}\iff z=\bar{z}$ $ y $ de $$\bar{a}b+a\bar{b}=2\left|ab\right|\ge 0$

Answer 3

Su enfoque está bien. Ya tienes $$ | a + b | ^ 2 = | un | ^ 2 + | b | ^ \implies 2\text 2 {Re} (un ^ {} b) = 2 | un ^ {} b |, $$ que tiene si y sólo si $a^{}b$ es real y no negativo. Dado el estado que $a\neq 0$, esto es equivalente a $b/a=(a^{}b)/|a|^2$ ser real y no negativo.