Soluciones para una ecuación de números complejos

Question

Tengo la ecuación

$z^{8}=\bar{z}$

Yo tenía que resolver, y para encontrar la suma y el producto de las soluciones. Hice todo eso y se encontró que las soluciones son (en grados): cis de: 0, 40, 80, 120, ..., 320.

La suma fue de 0 y el producto 1 (he utilizado la aritmética y geométrica de la serie).

Ahora tengo que decir lo que pasaría si la ecuación fue:

$z^{n}=\bar{z}$ n, donde n es natural.

Entiendo que depende de si n es par o impar, pero no estoy seguro de cómo afectan a la suma y el producto. Afecta a las soluciones que ellos mismos ?

Gracias

Answer 1

Tienes $|z|^8=|z|$, lo $z=0$o $|z|=1$.

En este último caso, la ecuación se convierte en $z^9=1$, porque $\bar{z}=z^{-1}$.

El caso general es exactamente lo mismo. El problema final es la suma de las raíces de #%-th $(n+1)$% #%, que es bastante fácil de encontrar.

Answer 2

Así que, como se señaló, $z = 0$ es siempre una solución. Para $z \ne 0$ si $z^n = \bar{z}$, $$ z^{n+1} = |z|^2 = 1. $$ Así que las soluciones son la $n+1$th raíces de la unidad. La suma de estos es siempre cero, que puede ser visto desde $$ e^{\frac{2\pi i}{n+1}}\sum_{m=0}^n e^{\frac{2\pi i m}{n+1}} = \sum_{m=1}^n e^{\frac{2\pi i m}{n+1}} + e^{2\pi i \frac{n+1}{n+1}} = \sum_{m=1}^n e^{\frac{2\pi i m}{n+1}} + 1 = \sum_{m=0}^n e^{\frac{2\pi i m}{n+1}} $$ y $e^{\frac{2\pi i}{n+1}} \ne 1$. Su producto, por otro lado, es $$ \prod_{m=0}^ne^{\frac{2\pi i m}{n+1}} = \exp\left(\frac{2\pi i}{n+1}\sum_{m=0}^nm\right) = \exp\left(\frac{2\pi i}{n+1}\sum_{m=0}^nm\right) = e^{i\pi n} = (-1)^n $$ Así que hemos

• La suma de las soluciones: 0
• Producto de un valor distinto de cero soluciones: $(-1)^n$
• Producto de todas las soluciones: 0