Necesito mostrar que $$ (a-d)^2+(b-c)^2\geq 1.6 $$ si $a^2+4b^2=4$$cd=4$.
Me dijeron que no existen agradable y dulce primaria de la solución.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si recuerdo bien, yo vi esta desigualdad hace mucho tiempo, cuando yo era un colegial. Entonces yo no resolverlo. Pero ahora parece que el siguiente para mí.
Por supuesto, el enfoque geométrico es la primera solución de la idea, : -), pero que debe ser desarrollada. Sin pérdida de generalidad, es suficiente con considerar el primer Cuadrante del plano (la disposición en el Cuadrante III es simétrica).
Tratamos de encontrar el paralelismo de las líneas de separación de las curvas. La evidencia experimental sugiere probar $2a+3b=x$ $2d+3c=y$ (ver la foto).
La primera línea. En las coordenadas $(a/2,b)$ la línea es tangente al círculo unidad. Estas coordenadas de la línea de la ecuación de $4(a/2)+3b=x$. Por lo tanto es tangente al círculo en el punto de $(4,3)/\sqrt{4^2+3^2}=(4/5,3/5)$. A continuación,$x=(4\cdot (4/5)+3\cdot (3/5))=5$.
La segunda línea. $2d+3b\ge 2\sqrt{2d\cdot 3b}=4\sqrt 6=y$.
El cuadrado de la distancia entre las líneas es $\frac {(x-y)^2}{2^2+3^2}=1.77\dots>1.6$.
jlupolt
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369
Si $a^2+4b^2=4$ , tenemos una elipse con la anchura $2$ y la altura de la $1$. Ahora, el conjunto de puntos de $cd=4$ describe una hipérbola que no atraviese la elipse. Usted necesita demostrar que: $$(a-d)^2 + (b-c)^2 \geq 1.6$$ Esta es la ecuación de un círculo centrado alrededor del punto de $(c,d)$ que se encuentra en la hipérbola. En otras palabras, el problema es demostrar que la hipérbola es siempre, al menos, $1.6$ unidades de distancia de la elipse.
Por lo tanto, es suficiente para encontrar la distancia mínima entre las funciones: $$f(x) = \frac{4}{x},\ \ g(x) = \sqrt{\frac{4 - x^2}{4}}$$ Y para demostrar que este es mayor que $1.6$, es decir, encontrar el mínimo de:
$$\min_{x_1,x_2} \sqrt{\left( \frac{4}{x_1} - \sqrt{\frac{4 - x_2^2}{4}} \right)^2 -(x_1-x_2)^2}$$ En el rango de $x_2\in[0,2]$, $x_1>0$.
chenbai
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5470
es complementaria a la de Alex método que más gusta de la escuela secundaria método:
La idea es la misma,se utilizan dos líneas paralelas a calcular. vamos a slop es $k=-\tan{ \alpha}, 0<\alpha <\dfrac{\pi}{2}$,
la línea tangente a la elipse $x^2+4y^2=4$: $y=kx+b_1 \to x^2+4(kx+b_1)^2=4, \Delta=0,\implies b_1^2=4k^2+1$
la línea tangente a una Hipérbola $xy=4$:$y=kx+b \to x(kx+b)=4, \Delta=0,\implies k=-\dfrac{b^2}{4^2}$
$b_1=\sqrt{\dfrac{b^4}{64}+1},\cos{\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2{\alpha}}}=\dfrac{4^2}{\sqrt{b^4+4^4}}$
la distancia entre dos líneas es: $D=(b-b_1)\cos{\alpha}=\left(b-\sqrt{\dfrac{b^4}{64}+1}\right)\dfrac{4^2}{\sqrt{b^4+4^4}}=\dfrac{2(8b-\sqrt{b^4+64})}{\sqrt{b^4+4^4}}=\dfrac{2(64b^2-b^4-64)}{\sqrt{b^4+4^4}(b+\sqrt{b^4+64})}=\dfrac{2(960-(b^2-32^2)^2)}{\sqrt{b^4+4^4}(b+\sqrt{b^4+64})}$
el numerador es la Parábola, el pico es de a $b^2=32,b=4\sqrt{2}$
el denominador es el mono que aumenta la función, y es conducida por $b^4$, por lo que hará que el pico de $D$ moverse a la izquierda fuertemente. El $D(b)$ tiene dos cero puntos en torno $b=1,8$, por lo que el punto máximo debe ser de alrededor de $3$ o $4$( es suposición).
$D(3)=1.3,D(4)=1.25 \implies D^2=1.69>1.6$ , por lo que tenemos, al menos, una solución para mostrar el cuadrado de la distancia de dos puntos de $(a,b),(c,d) >1.6 $
si tratamos de $D(3.5)=1.76$, por lo que si ponemos min es $1.7$,es muy duro para estudiante de la escuela secundaria.
