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3 votos

Ecuación de Pitágoras inversa:1a2+1b2=1c2

ps

Quiero generar todas las soluciones primitivas hasta$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}$. ¿Hay una solución paramétrica?

Por la fuerza bruta, obtuve estas soluciones:

aN.

Parece que(15,20,12),(20,15,12),(65,156,60),(136,255,120),(156,65,60),(175,600,168),(255,136,120),(580,609,420),(600,175,168),(609,580,420) es un múltiplo dec. Otra observación es12 dondea2+b2=d4 es la hipotenusa de un triángulo.

3voto

Stephan Aßmus Puntos 16

ConA siendo par,r>s>0,gcd yr+s impar,

A = 2rs\left( r^2 + s^2 \right) \; , \; \; B = r^4 - s^4 \; , \; \; C = 2rs\left( r^2 - s^2 \right) \; . \; \;

The proof starts with \ gcd (A, B, C) = 1, goes on with \ gcd (A, B) = g, \; \; \ gcd (g, C) = 1, A = ga, \; \; B = gb, \; \; \ gcd (a, b) = 1, y continúa desde allí ...

 Mon Mar 12 20:54:12 PDT 2018
  A: 20    B: 15     C:  12  r: 2  s: 1
  A: 156    B: 65     C:  60  r: 3  s: 2
  A: 136    B: 255     C:  120  r: 4  s: 1
  A: 600    B: 175     C:  168  r: 4  s: 3
  A: 580    B: 609     C:  420  r: 5  s: 2
  A: 1640    B: 369     C:  360  r: 5  s: 4
  A: 444    B: 1295     C:  420  r: 6  s: 1
  A: 3660    B: 671     C:  660  r: 6  s: 5
  A: 1484    B: 2385     C:  1260  r: 7  s: 2
  A: 3640    B: 2145     C:  1848  r: 7  s: 4
  A: 7140    B: 1105     C:  1092  r: 7  s: 6
  A: 1040    B: 4095     C:  1008  r: 8  s: 1
  A: 3504    B: 4015     C:  2640  r: 8  s: 3
  A: 7120    B: 3471     C:  3120  r: 8  s: 5
  A: 12656    B: 1695     C:  1680  r: 8  s: 7
  A: 3060    B: 6545     C:  2772  r: 9  s: 2
  A: 6984    B: 6305     C:  4680  r: 9  s: 4
  A: 20880    B: 2465     C:  2448  r: 9  s: 8
  A: 2020    B: 9999     C:  1980  r: 10  s: 1
  A: 6540    B: 9919     C:  5460  r: 10  s: 3
  A: 20860    B: 7599     C:  7140  r: 10  s: 7
  A: 32580    B: 3439     C:  3420  r: 10  s: 9
  A: 5500    B: 14625     C:  5148  r: 11  s: 2
  A: 12056    B: 14385     C:  9240  r: 11  s: 4
  A: 20724    B: 13345     C:  11220  r: 11  s: 6
  A: 32560    B: 10545     C:  10032  r: 11  s: 8
  A: 48620    B: 4641     C:  4620  r: 11  s: 10
Mon Mar 12 20:54:12 PDT 2018
 

2voto

K B Dave Puntos 641

Wikipedia llama a la curva proyectiva \{[a:b:c]| a^2b^2=c^2(a^2+b^2)\} la cruz de la curva.

Considerar la birational mapa en el plano proyectivo inducida por la norma cuadrática transformación \begin{align}[a:b:c]&=[yz:xz:xy] & [x:y:z]&=[bc:ac:ab]\text{;}\end{align} a través de este mapa, de la cruz de la curva es birational a \{[x:y:z] | x^2+y^2=z^2\}\text{,} es decir, el círculo. Pero el círculo es birational a la línea proyectiva a través de la proyección estereográfica: \begin{align}[x:y:z]&=[t^2-u^2:2tu:t^2+u^2]& [t:u]&=[x+z:y]=[y:z-x]\text{.} \end{align} En consecuencia, la cruz de la curva es también birational a la línea proyectiva: \begin{align}[a:b:c]&=[2tu(t^2+u^2):(t^2-u^2)(t^2+u^2):2tu(t^2-u^2)]\\ [t:u]&=[b(a+c):ac]=[ac:b(a-c)] \text{.}\end{align}

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