Ecuación de Pitágoras inversa:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}$

Question

ps

Quiero generar todas las soluciones primitivas hasta$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}$. ¿Hay una solución paramétrica?

Por la fuerza bruta, obtuve estas soluciones:

$a \le N$.

Parece que$(15, 20, 12),(20, 15, 12),(65, 156, 60),(136, 255, 120),(156, 65, 60),(175, 600, 168),(255, 136, 120),(580, 609, 420),(600, 175, 168),(609, 580, 420)$ es un múltiplo de$c$. Otra observación es$12$ donde$a^2+b^2=d^4$ es la hipotenusa de un triángulo.

Answer 1

Con$A$ siendo par,$r>s>0,$$\gcd(r,s) = 1$ y$r+s$ impar,

$$A = 2rs\left( r^2 + s^2 \right) \; , \; \; B = r^4 - s^4 \; , \; \; C = 2rs\left( r^2 - s^2 \right) \; . \; \;$$

The proof starts with $\ gcd (A, B, C) = 1,$ goes on with $\ gcd (A, B) = g, \; \;$ $\ gcd (g, C) = 1,$ $A = ga, \; \; B = gb, \; \;$ $\ gcd (a, b) = 1,$ y continúa desde allí ...

 Mon Mar 12 20:54:12 PDT 2018
  A: 20    B: 15     C:  12  r: 2  s: 1
  A: 156    B: 65     C:  60  r: 3  s: 2
  A: 136    B: 255     C:  120  r: 4  s: 1
  A: 600    B: 175     C:  168  r: 4  s: 3
  A: 580    B: 609     C:  420  r: 5  s: 2
  A: 1640    B: 369     C:  360  r: 5  s: 4
  A: 444    B: 1295     C:  420  r: 6  s: 1
  A: 3660    B: 671     C:  660  r: 6  s: 5
  A: 1484    B: 2385     C:  1260  r: 7  s: 2
  A: 3640    B: 2145     C:  1848  r: 7  s: 4
  A: 7140    B: 1105     C:  1092  r: 7  s: 6
  A: 1040    B: 4095     C:  1008  r: 8  s: 1
  A: 3504    B: 4015     C:  2640  r: 8  s: 3
  A: 7120    B: 3471     C:  3120  r: 8  s: 5
  A: 12656    B: 1695     C:  1680  r: 8  s: 7
  A: 3060    B: 6545     C:  2772  r: 9  s: 2
  A: 6984    B: 6305     C:  4680  r: 9  s: 4
  A: 20880    B: 2465     C:  2448  r: 9  s: 8
  A: 2020    B: 9999     C:  1980  r: 10  s: 1
  A: 6540    B: 9919     C:  5460  r: 10  s: 3
  A: 20860    B: 7599     C:  7140  r: 10  s: 7
  A: 32580    B: 3439     C:  3420  r: 10  s: 9
  A: 5500    B: 14625     C:  5148  r: 11  s: 2
  A: 12056    B: 14385     C:  9240  r: 11  s: 4
  A: 20724    B: 13345     C:  11220  r: 11  s: 6
  A: 32560    B: 10545     C:  10032  r: 11  s: 8
  A: 48620    B: 4641     C:  4620  r: 11  s: 10
Mon Mar 12 20:54:12 PDT 2018
 

Answer 2

Wikipedia llama a la curva proyectiva $$\{[a:b:c]| a^2b^2=c^2(a^2+b^2)\}$$ la cruz de la curva.

Considerar la birational mapa en el plano proyectivo inducida por la norma cuadrática transformación $$\begin{align}[a:b:c]&=[yz:xz:xy] & [x:y:z]&=[bc:ac:ab]\text{;}\end{align}$$ a través de este mapa, de la cruz de la curva es birational a $$\{[x:y:z] | x^2+y^2=z^2\}\text{,}$$ es decir, el círculo. Pero el círculo es birational a la línea proyectiva a través de la proyección estereográfica: $$\begin{align}[x:y:z]&=[t^2-u^2:2tu:t^2+u^2]& [t:u]&=[x+z:y]=[y:z-x]\text{.} \end{align}$$ En consecuencia, la cruz de la curva es también birational a la línea proyectiva: $$\begin{align}[a:b:c]&=[2tu(t^2+u^2):(t^2-u^2)(t^2+u^2):2tu(t^2-u^2)]\\ [t:u]&=[b(a+c):ac]=[ac:b(a-c)] \text{.}\end{align}$$