A. Enfoque del estudiante de Cálculo del Año 1 $$ F(x) = \int f(x') dx\, $$
B. Planteamiento matemático aleatorio que encuentres en Internet $$ F(x) = \int dx f(x') \, $$
C. Spivak $$ F(x) = \int f(x) \, $$
D. ???
(Edit) Lo pregunto porque leí un post en Math Stackexchange que decía algo así como que dejar de lado el dx está totalmente bien porque no está bien definido. Tengo curiosidad por lo que hacen los matemáticos reales.
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$$\int f(x)\,dx.$$ No hay ambigüedad sobre el orden de integración ni sobre cuál es la variable que se integra ni nada por el estilo. La mayoría de los matemáticos utilizan esta notación. A los físicos les suele gustar la segunda notación por alguna razón (como antiguo físico, ni siquiera entiendo el atractivo).
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Creo que Spivak en realidad escribe $\int f$ no $\int f(x)$ pero puedo estar equivocado.
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No puedes dejar caer $dx$ en general. Piensa en $\int xy.$ Entonces $\int xy dx$ es completamente diferente de $\int xy dy$ ou $\int xy dt.$ Si sólo trabaja con una variable, por ejemplo $x,$ y esto se supone que podría caer $dx,$ aunque no estoy seguro de que sea la norma.
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Lo normal es dejar caer el $d$ _ si no hay ambigüedad. Esto se debe a que los matemáticos pueden ser perezosos con respecto a estas cosas.
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¿Alguien utiliza B? Si es así, ¿estás intentando explicitar que la integral es un operador que opera sobre f?
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B es bastante común para las integrales anidadas en física. Por ejemplo, en mecánica analítica de cuerpos rígidos y en óptica.
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B es una mucho mejor estilo para las integrales anidadas, de forma que no tengas que ir de un extremo a otro de la expresión para conectar las variables con sus intervalos.
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También, $f^{(-1)}(x)$ .
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En algunas de mis clases de EE utilizamos $D^{-1}$ en lugar de B, porque el efecto de la transformación de Laplace es enviar D a s.